【科學史沙龍】周髀論日高

■台大數學系張海潮教授在十年前退休，成為兼任教授，開授文學院通識課程。為了增加學生的興趣，他開始接觸中國古代的數學發展，經過十年研究，將在近日出版《古代天文學中的幾何方法》一書。這次科學史沙龍中，張海潮老師與我們分享書中的一個主題──「周髀論日高」

講者｜臺大數學系 張海潮教授

唐朝科舉設有明算一科，考的是數學。為了讓天下讀書人有所依據，政府出了十本算書，其意義正如今天的「部編版教科書」，而《周髀》正是其中最古老的一本；這也是中國古代第一部同時談到天文與數學的書。天文是物理與數學的共同起源，無論是在東西方，數學與物理最早的發展都源於對廣闊天際的好奇，天體運行自然是很早就被探討的課題之一。

《周髀》一書中，收錄了老祖宗們經年累月的觀察，並從晷影定出的二十四節氣，估算日高和日徑；在古早的文明中，人類對週期運動都有很強烈的感知，並以此作為時間度量。太陽升起又落下便是一天，立竿見影，稱為「日晷」，晷影最短時便是中午；正午的晷影還有一個大週期的變化，週期約為一年。

二十四節氣的由來
夏至是一年之中，正午時竿影最短的一天。根據《周髀》的記載，長八尺的竿會有1.6尺的影長；冬至時正午竿影最長，至13.5尺。我們現在知道，竿影長的變化是由於地軸傾斜造成，不過千年前的周髀尚未有此概念。當時認為「地」是一個平面，太陽在地面以上某個高度，以等速往返。冬至到夏至期間太陽北移，夏至到冬至間則南移。藉由測量影長得知太陽的位置，就可以定下一年中的各個時節：先將冬至、夏至的影長平均，得7.55尺，竿影7.55尺時即是春/秋分，再將冬至與春分之間分為六等份，就有了小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄等節氣。

周髀對太陽運行的假設當然是有瑕疵的，除了冬至與夏至外，其他節氣在當時都還無法被精確的計算。因此，在古代中國直到清朝初年接受了西方傳教士所帶來的天文學觀念，才真正確立了二十四節氣的時間，稱為「定氣」。

從「勾之損益寸千里」到測量「日高」
「勾」就是竿影。夏至正午在洛陽立一八尺之竿，有勾一尺六寸；若將竿往南移一千里，則勾減少一寸（變成一尺五寸），此即「勾之損益寸千里」。「寸千里」是周髀的想像，並沒有經過證實，但據此假設，若從洛陽向南走一萬六千里，則竿影減少一尺六寸，就成了「立竿無影」，此時太陽應在竿的正上方。周髀以此推算夏至時太陽的位置，在洛陽南方一萬六千里處；而冬至時竿影長十三尺五寸，太陽應該就落在洛陽南方十三萬六千里處了。

根據相似型原理，竿與影的比例洽等於太陽高度與太陽與竿的距離之比例。夏至時竿長八尺，竿影一尺六寸，太陽距離洛陽一萬六千里，可算出太陽高度為八萬里。

周髀又想知道太陽的大小，這此使用的方法是拿一根打通中節的竹子來觀察太陽。同樣利用相似型原理，當太陽洽好落入竹管中時，太陽直徑比上太陽與觀察者的直線距離，正好等於竹管直徑比上竹管長，周髀因此得到日徑一二五〇里。

中國古代的「里」莫衷一是，在周髀書中應是今日的五百公尺左右。周髀對日高與日徑的估算可說是非常不準確的，但透過這部中國最古老的算書，我們仍窺見了當時中國人對幾何方法的掌握與應用，而在周髀之後的九章算數與海島算經，更把周髀中的幾何方法發揚光大，應用到了各式各樣的題目上。