【大宇宙小故事】40 光陰似箭
撰文｜葉李華
在科學史上，愛丁頓(A. Eddington, 1882-1944)最有名的功績是為廣義相對論提供第一個天文觀測證據(請參考〈愛因斯坦之最〉)。然而，如果你以為他是一位觀測天文學家，那就大錯特錯了。事實上，愛丁頓可以算是最早的天體物理學家，這就代表他對物理學也有深刻的認識。
據說曾經有人在公開場合問他，全世界只有三個人真懂廣義相對論，想必您是其中之一？沒想到愛丁頓竟然反問：「第三個人是誰呢？」這雖然很可能只是傳說，卻足以突顯他在這門學問上的造詣。
因此，愛丁頓不只研究過廣義相對論，甚至曾經做出「教科書級」的貢獻(Eddington-Finkelstein座標)。不過恐怕很少有人知道，除此之外，他還思考過一個更基本的問題，從而提出一個更著名的理論，所謂的「時間箭頭」。
就人類的直覺而言，時間很像一條河流，不但一直流動，而且有固定的方向。在牛頓的(絕對)時空觀中，我們不難找到這個「時間河流」的意象。可是兩種相對論都將時空視為整體，時間在其中只是另一個座標軸，非但不再流動，而且失去了方向，以至於變得非常陌生、非常違背直覺。
這個弔詭有兩個可能的解釋，一是「時間河流」根本不存在，牛頓未能參透這一點，相對論則一針見血地戳穿這個假象。另一個解釋則是四維時空的理論仍有不足之處，應當設法替它打個補丁。
愛丁頓選擇了第二個可能性，可是在相對論中竟然找不到製作補丁的材料。他只好跳出框架來思考，結果在古典物理學的一個角落，直接找到了他所需要的補丁。
這是公元1927年的事。
●熱力學之父2
時間退回到一百多年前的十九世紀初，當時蒸汽機早已推動工業革命，但熱力學這門學問卻遲遲尚未誕生，甚至能量的概念都還不夠明確。這就代表之前的工程師在從事研發之際，其實只是跟著感覺走，知其然而不知其所以然，就連大名鼎鼎的瓦特(James Watt, 1736-1819)也不例外。
相信有不少人以為瓦特是蒸汽機的發明者，事實則不然，瓦特之所以名留青史，是因為他將蒸汽機的效率大幅提升。但諷刺的是，瓦特蒸汽機的效率仍然不到10%，也就是說還有超過90%的能量沒派上用場。
可想而知，當時的工業界多麼希望更上一層樓，但由於欠缺理論基礎，進展相當緩慢。
最先在學理上研究這個問題的人是法國工程師卡諾(Sadi Carnot, 1796-1832)，如果你修習過熱力學，對這個名字應該不陌生。不過熱力學教科書恐怕忘了交代一件事：他的父親(Lazare Carnot, 1753-1823)在這方面做了重要的奠基工作，換言之，卡諾的成就其實是站在父親的肩膀上完成的。
順帶一提，老卡諾是個非常精采的人物，擁有科學家、工程師、政治家和軍事家的多重身份，而且各方面都頗有建樹(如果令你聯想到富蘭克林，那不算巧合，這兩人可算是忘年之交)。此外或許更重要的是，這位老卡諾教子有方，大兒子擁有「熱力學之父」的美名，二兒子則在政治上承先啟後，把自己的長子培養成了法國總統。
回到正題，卡諾父子雖然都鑽研過機械效率的問題，但兩人的「分工」大致是這樣的：老卡諾研究的主要是簡單機械(槓桿、滑輪、輪軸、斜面、螺旋、楔)所組成的機器，卡諾則是研究所謂的熱機(蒸汽機與內燃機的統稱)；前者的動力是水力、獸力或發條，後者則是靠熱能來驅動。
兩人的研究結果可說是殊途同歸，都發現能量的轉換有先天的限制。
用現代的語言來說，老卡諾發現的限制源自摩擦和(非彈性)碰撞，導致某些能量因而轉變成(散逸到空氣中的)熱量。既然機械在運作時摩擦和碰撞在所難免，輸入的能量當然無法百分之百派上用場，這點相當容易理解。
卡諾的結論就比較奇怪，他發現只要是以熱來驅動機器，即使完全不考慮磨擦和碰撞，效率還是絕不可能達到百分之百。換言之，總是有一部分熱能硬是不肯轉換成動能。
那麼熱機的效率有沒有明確的上限呢？答案是肯定的！經過數年的研究，卡諾創造了一個理論模型(卡諾熱機)，並且導出一個定理(卡諾定理)：任何真實的熱機，效率都低於卡諾熱機。(後來才有人算出卡諾熱機的效率是1-TC/TH, 請參考下圖)。
正是這個定理，讓卡諾被後人尊稱為「熱力學之父」。但必須強調的是，就現代標準而言，卡諾的學說仍有「誤打誤撞」的成分，例如他將熱視為一種流體，用水車當作熱機的模型。不過，這是因為當時科學界尚未瞭解熱的本質(請參考〈統一與獨立〉)，絕非卡諾不夠聰明或不夠努力。
事實上，卡諾正是努力過了頭，才會年紀輕輕便積勞成疾，導致健康迅速惡化，最後感染霍亂英年早逝。
由於卡諾領先時代太多，他的研究成果並未即時受到同儕的重視。當他三十六歲告別人世之際，科學界還幾乎等於沒有這號人物。直到死後十餘年，卡諾的學說才由幾位物理學家(Clapeyron, Clausius, Kelvin)重新詮釋，成為著名的「熱力學第二定律」。
為什麼不是第一定律呢？因為「第一」保留給了焦耳等人發現的能量守恆定律。
●時間的聯想
愛丁頓當年找到的補丁正是熱力學第二定律，因為它隱含了「時間的流動與方向」。
不過請注意，這個定律有幾個等價的敘述，並非每一個都能引發時間的聯想。最明顯的反例就是前述的「當你用熱來驅動機器時，注定有一部分熱能無法派上用場。」這句話也是第二定律的一種敘述，但似乎和時間八竿子也打不著。
因此，愛丁頓所需要的是另一個版本：「孤立系統的熵會一直不斷增加，直到升至極限值才會停止。」請大家想想，其中的「一直不斷增加」是不是同時隱含了時間的流動與方向？而整個宇宙算不算一個孤立系統？
美中不足的是，這個敘述用了一個非常抽象的概念「熵」。或許由於它實在太抽象，愛丁頓在引介「時間箭頭」時，似乎刻意避免用它來打頭陣。
例如在1928年出版的著作中，愛丁頓是這麼說的：「讓我們任意畫個箭頭。如果跟著這個箭頭走，我們發現世上有越來越多的紊亂成分(random element)，這個箭頭就指向未來；如果紊亂成分逐漸減少，箭頭就指向過去……這種單向性在空間中找不到對應，我將用『時間箭頭』表述之。」
由此可知，愛丁頓是以紊亂成分一詞來取代熵。可是千萬別以為這是愛丁頓的發明，事實上，早在半個世紀前(公元1877年)已經有人提出類似的想法，可惜又是因為太過超越時代，直到多年後才獲得學術界的肯定。不過，那當然是另一個故事了。
註一：經過百年的演進，熱力學終於發展出四大定律──第三定律出現於二十世紀初，而在一九三零年代，為了讓熱力學更嚴謹，又有人提出近乎廢話的第零定律。這四大定律構成熱力學的基石，地位有如古典力學的牛頓三大定律，以及電磁學的馬克士威方程組。
註二：凡是「不可逆」的物理過程都隱含了熵的增長，因此也能用來定義時間箭頭，而且或許更符合直覺。
「不可逆過程」有個科普版的操作型定義：將過程拍攝下來，然後倒轉播放，如果看起來荒謬無比，原過程就是不可逆的。例如：(1)動植物的生長；(2)食鹽在水中溶解；(3)冰塊在空氣中融化；(4)籃球在地上反覆彈跳，最後趨於靜止。
註三：根據目前公認的宇宙學理論，宇宙誕生於一百多億年前，然後逐步擴張，範圍越來越大，因此宇宙本身就能體現時間的流動與方向。
這樣定義出的時間箭頭稱為「宇宙學(時間)箭頭」，以有別於上述的「熱力學箭頭」。由於宇宙和(真實的)四維時空其實是同義詞，所以「宇宙學箭頭」可謂自給自足、不假外求。不過「動態宇宙」的觀測證據在1927年尚未出現，愛丁頓才會禮失而求諸野。
