【數學新知】坡里尼西亞人的傑作：二進位數學

■二進位數系的歷史有多悠久？可能遠比發明電腦，甚至比西方的二進位數學還要來得久遠。早在微積分發明人之一哥特佛萊德·萊布尼茲(Gottfried Leibniz)，1703年提出二進位之前幾百年，坡里尼西亞一座小島上的居民，可能就已經在用二進位進行計算工作了。

作者｜JOHN BOHANNON
編譯｜高英哲

正在閱讀這篇文章的你，幾乎可以確定用的是十進位數系。十進位數系是由十個阿拉伯數字循環構成的模式為基礎，建構起來的一個數系：先從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9開始，然後接著是10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，如此一直循環下去。不過十進位並不是唯一的計數系統：巴比倫人用六十進位，馬雅人用二十進位，有些澳洲土著用的是五進位。現今大多數由電腦完成的計數與計算工作，用的更不是十進位，而是0與1構成的二進位。

隨著需要進行的計數與計算工作種類不同，每一種數系都有其微妙的優點。考量到人們有十根手指頭，十進位數系確實挺容易上手的；但如果是要做除法計算，其他的數系會比較好用。10只有2跟5兩個質因數，你若用3下去除，就會跑出 0.3333...這種很惱人的無限逼近值；若是用十二進位數系，就能夠得到很漂亮的有限解（確實有些數學家提議全世界都改用十二進位）。至於二進位，就如同萊布尼茲在三百年前所發現的，它在計算工作上確實也有比十進位優秀之處，比方說雖然二進位的數字會變得很長，不過要做乘法運算卻很方便，因為你只需要記得1 x 1 = 1，以及0 x 0 = 1 x 0 = 0 x 1 = 0，這樣就夠了。

在夏威夷南方5000公里的法屬坡里尼西亞，一座名叫曼加瑞瓦 (Mangareva) 的小島上的居民，可能比萊布尼茲還搶先了幾百年使用。挪威卑爾根大學人類學家安潔亞．班德 (Andrea Bender) 跟西格哈格．貝勒 (Sieghard Beller) ，在研究曼加瑞瓦當地語言與文化時，驚覺他們竟然在使用一種似乎混合了十進位跟二進位的數學系統。班德說：「我興奮到半夜睡不著覺。」這不但是近數十年來首度發現新的原生數系，也是在歐亞大陸以外，第一宗發展出二進位演算的例證。

一千多年前定居於此的曼加瑞瓦島居民，跟所有的坡里尼西亞人一樣，用的是十進位計數系統。不過據班德跟貝勒表示，曼加瑞瓦島民在接下來的數百年間，慢慢加入了一種二進位的變化。就像英文裡有一些可以用來代替數字的特別字眼，像是dozen代表12，score代表 20，曼加瑞瓦語也有代替大量數字的特別字眼；不過這些特別的計數字眼，全都是十進位的數字，乘上1、2、4、8這些二的次方數——takau等於10，paua等於20，tataua等於40，varu等於80，這些大數用來計算椰子之類數量很大的有價物品很方便。班德跟貝勒發現曼加瑞瓦島上這套計數系統，可以用二進位演算法進行大數運算，並把這項發現發表於《美國國家科學院學報》 (Proceedings of the National Academy of Sciences) ；即使不是這方面的專家，這篇論文都能暢讀無礙。

然而其中有個問題：雖然曼加瑞瓦島當地的數學系統用的是二進位演算法，然而現在島上的居民卻不再使用這套系統——跟西方文化接觸兩百年下來，使得島民已經完全轉用十進位計算了。就連曼加瑞瓦語本身，如今也面臨絕跡的威脅。班德跟貝勒倚賴民族志學者在1938年記載下來的傳統計數字眼，對當地語言進行分析，他們承認要證明曼加瑞瓦島民究竟是在什麼時候，發展出這套計數系統，是不可能辦到的事；不過以計數詞彙深植於語言之中的情況研判，這些字眼必定起源甚早。很遺憾的是，這兩位人類學家的發現可能已經晚了一個世代，無法親眼見到曼加瑞瓦島的數學系統實際運作的情形。

「他們兩位提出的假設確實言之成理，不過由於欠缺原始曼加瑞瓦語的書寫記載，挑戰性真的不小。」美國加州大學聖地牙哥分校人類學家拉斐爾．努涅茲 (Rafael Núñez) 說。「不過諷刺的是，正因為曼加瑞瓦文化沒有書寫習慣，這套假設才言之成理。利用內建於曼加瑞瓦語的二進位數系，很容易在腦海中完成心算。」

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研究出處：Polynesians May Have Invented Binary Math

譯者：高英哲 科教中心特約寫手，從事科普文章編譯。
責任編輯：Kerina Huang