【數學新知】坡里尼西亞人的傑作:二進位數學

■二進位數系的歷史有多悠久?可能遠比發明電腦,甚至比西方的二進位數學還要來得久遠。早在微積分發明人之一哥特佛萊德·萊布尼茲(Gottfried Leibniz),1703年提出二進位之前幾百年,坡里尼西亞一座小島上的居民,可能就已經在用二進位進行計算工作了。

作者|JOHN BOHANNON
編譯|高英哲

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「二」的力量。曼加瑞瓦人可能獨立於西方發明了二進位數系。

正在閱讀這篇文章的你,幾乎可以確定用的是十進位數系。十進位數系是由十個阿拉伯數字循環構成的模式為基礎,建構起來的一個數系:先從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9開始,然後接著是10、11、12、13、14、15、16、17、18、19,如此一直循環下去。不過十進位並不是唯一的計數系統:巴比倫人用六十進位,馬雅人用二十進位,有些澳洲土著用的是五進位。現今大多數由電腦完成的計數與計算工作,用的更不是十進位,而是0與1構成的二進位。

隨著需要進行的計數與計算工作種類不同,每一種數系都有其微妙的優點。考量到人們有十根手指頭,十進位數系確實挺容易上手的;但如果是要做除法計算,其他的數系會比較好用。10只有2跟5兩個質因數,你若用3下去除,就會跑出 0.3333...這種很惱人的無限逼近值;若是用十二進位數系,就能夠得到很漂亮的有限解(確實有些數學家提議全世界都改用十二進位)。至於二進位,就如同萊布尼茲在三百年前所發現的,它在計算工作上確實也有比十進位優秀之處,比方說雖然二進位的數字會變得很長,不過要做乘法運算卻很方便,因為你只需要記得1 x 1 = 1,以及0 x 0 = 1 x 0 = 0 x 1 = 0,這樣就夠了。

在夏威夷南方5000公里的法屬坡里尼西亞,一座名叫曼加瑞瓦 (Mangareva) 的小島上的居民,可能比萊布尼茲還搶先了幾百年使用。挪威卑爾根大學人類學家安潔亞.班德 (Andrea Bender) 跟西格哈格.貝勒 (Sieghard Beller) ,在研究曼加瑞瓦當地語言與文化時,驚覺他們竟然在使用一種似乎混合了十進位跟二進位的數學系統。班德說:「我興奮到半夜睡不著覺。」這不但是近數十年來首度發現新的原生數系,也是在歐亞大陸以外,第一宗發展出二進位演算的例證。

一千多年前定居於此的曼加瑞瓦島居民,跟所有的坡里尼西亞人一樣,用的是十進位計數系統。不過據班德跟貝勒表示,曼加瑞瓦島民在接下來的數百年間,慢慢加入了一種二進位的變化。就像英文裡有一些可以用來代替數字的特別字眼,像是dozen代表12,score代表 20,曼加瑞瓦語也有代替大量數字的特別字眼;不過這些特別的計數字眼,全都是十進位的數字,乘上1、2、4、8這些二的次方數——takau等於10,paua等於20,tataua等於40,varu等於80,這些大數用來計算椰子之類數量很大的有價物品很方便。班德跟貝勒發現曼加瑞瓦島上這套計數系統,可以用二進位演算法進行大數運算,並把這項發現發表於《美國國家科學院學報》 (Proceedings of the National Academy of Sciences) ;即使不是這方面的專家,這篇論文都能暢讀無礙。

然而其中有個問題:雖然曼加瑞瓦島當地的數學系統用的是二進位演算法,然而現在島上的居民卻不再使用這套系統——跟西方文化接觸兩百年下來,使得島民已經完全轉用十進位計算了。就連曼加瑞瓦語本身,如今也面臨絕跡的威脅。班德跟貝勒倚賴民族志學者在1938年記載下來的傳統計數字眼,對當地語言進行分析,他們承認要證明曼加瑞瓦島民究竟是在什麼時候,發展出這套計數系統,是不可能辦到的事;不過以計數詞彙深植於語言之中的情況研判,這些字眼必定起源甚早。很遺憾的是,這兩位人類學家的發現可能已經晚了一個世代,無法親眼見到曼加瑞瓦島的數學系統實際運作的情形。

「他們兩位提出的假設確實言之成理,不過由於欠缺原始曼加瑞瓦語的書寫記載,挑戰性真的不小。」美國加州大學聖地牙哥分校人類學家拉斐爾.努涅茲 (Rafael Núñez) 說。「不過諷刺的是,正因為曼加瑞瓦文化沒有書寫習慣,這套假設才言之成理。利用內建於曼加瑞瓦語的二進位數系,很容易在腦海中完成心算。」

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研究出處:Polynesians May Have Invented Binary Math

譯者:高英哲 科教中心特約寫手,從事科普文章編譯。
責任編輯:Kerina Huang

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