【我的數學夢】一張十元馬克

■ 一張陳舊的十元德國馬克，正向你娓娓傾訴高斯的另一段傳奇；翻開鈔票背面，看見數學家的測量人生。本文為CASE專題「我的數學夢」連載第一篇。

撰文 ∣ 張孟哲

　　如果要將自己的生平事蹟製成一張鈔票，你會希望它長得什麼樣子？也許，別人的觀點會和你自己的期待大不相同，至少對德國數學家高斯（Carl F. Gauss）來說正是如此。

　　在一九九一至二○○一年間流通於市面的德國舊貨幣十元馬克鈔票，它的正面印著高斯的肖像。肖像左側還印上了鐘形曲線，那是他在一八○九年出版的數學著作中重要的成果之一；但印在背面的圖案，出乎意料之外的並非關於高斯自豪的正十七邊形作圖法、或是他一生中在眾多數學領域裡非凡的成就，而是一具與大地測量有關的六分儀和三角測地成果圖。

　　高斯曾經實際領導測地工作達數年之久。這張十元馬克的印刷帶有淡淡的藍紫色基調，與一種來自纈草花的顏色很相近。這樣的設計也許不是任意的選擇，因為這種纈草紫與高斯為測地作業發明的儀器「回光儀（heliotrope）」，恰巧有著相同的名字。

　　或許出於熱愛純數學理論的天性，高斯本人對於這段經歷並沒有太高的評價。他曾經在給友人的信中寫道：「世上所有的測量工作，都比不上一個能讓永恆真理確實得以進展的理論。」但後世的一些製鈔者顯然不這麼想，他們甚至把高斯在測量學和數學方面的貢獻相提並論，放進了同一張鈔票的正反面。這不禁讓人開始好奇：到底高斯在測量的領域裡完成了哪些事情，使他的這重身份如此受到重視呢？

　　在十九世紀初期，大地測量是受到官方正式贊助的工作。一張準確的地圖在經濟及軍事方面的好處十分明顯，幾乎所有歐洲大陸上的主要國家都展開了各自的測地計畫。一八一六年哥本哈根大學的教授舒馬克（H. Schumacher）開始了在丹麥王國的測地計畫，其中一項目標是整合南方的鄰近王國漢諾瓦（Hannover）原有的測地成果。作為高斯的好友，舒馬克詢問高斯是否有興趣參與這項任務，而後者很快就答應了。自一八一八年開始的三十年裡，他在這個計畫上投注了大量的心力，幾乎排擠掉研究純數學和天文學的時間。

　　高斯對測地學的興趣源自青年時代。他在一七九九年發表了第一篇測地學論文，當時僅有二十二歲。在一八○三至○五年間，他帶著自己的儀器參與了法軍的小型測量任務，正好就在在他的出生地布倫瑞克（Brunswick）。決定參與測量計畫後，高斯向官方提出附有任務執行步驟及所需人員物資的說明書，獲得了正面回應與派遣士兵的隨行，他本人則被任命為計畫領導者。然而，高斯低估了實務上的困難，這項任務意外地成為之後十數年間他的生活重心所在。

　　原有的目標只是連接兩個地區的測量網絡，但漢諾瓦地區當時的測量成果相當糟糕，一部份的測量基準點甚至早已無人知曉。任務目標很快演變為對漢諾瓦地區的重新測量，之後更擴張到將不萊梅（Bremen）納入目標區域。高斯親自參與了計畫的起始階段，在夏天操作經緯儀進行現地作業。他必須選定適當的三角測量點、指揮各組人馬前往架設儀器，並且不斷以信件連絡進行細部調整。冬天來臨時他得獨自整理測量所得的成果。在那個缺少先進計算機的時代，繁複龐雜的計算工作必需以人力來完成，這是高斯後期的主要任務。整個計畫結束後，他估計自己處理了超過一百萬個數字的計算。

測量大地

　　大地測量實際的工作十分艱苦，有非常多的困難需要面對。比方說，不萊梅附近的區域幾乎是一片平坦，不利於測量工作中「基準點之間必須能夠通視」的條件，因為平地上能夠阻擋視線的事物太多了。清除障礙物的工作是必要的，有時可能是一座穀倉、一小片樹林，而在最後一棵樹倒下前甚至無法確定三角形的兩個點是否真的能夠彼此相連。任務期間的日子往往充滿焦慮，有好幾年的夏天高斯幾乎沒有在家中渡過、總是來回奔波於不同的村莊，和當地的農夫對砍掉幾棵樹的補償討價還價。相較於一般數學家，高斯有著足以應付測地任務辛勞的體格。對他而言，或許夏天的悶熱、令人不適的交通和居住環境、與各方面的協調、經費的短缺以及無止盡的計算工作，才是最難以忍受的部份。

　　當時的測量技術有個持續存在的瓶頸：距離太遠時難以標定遠方的目標物。解決方法之一是以夜間的提燈作為標示，但夜間測地是十分不便且累人的工作，於是「如何在日光下設立出足以辨識的目標物？」就成了仍待妥善解決的難題。當高斯在一八二○年由呂內堡（Luneburg）對漢堡（Hamburg）作測量的時候（兩地直線距離約五十公里），他發現一扇教堂屋頂的小圓窗恰巧向他反射出光芒，就產生了以平面鏡反射陽光作為目標的念頭。隔年，他設計並委託工匠製出了世上第一具回光儀。

向陽轉動

　　回光儀的名字「Heliotrope」源於希臘文，意思是「隨著日光轉動」，和一些向陽性的花朵名稱有著同樣的意含。回光儀主要一組平面鏡與望遠鏡組成。操作時，先用望遠鏡精確地對準另一個三角測量點的位置，再定時調整平面鏡反射的角度以跟上太陽移動的軌跡。平面鏡尺寸的設計經過估算，實際反射出的日光從二十公里外觀測仍有一等星的亮度，足以作為合適的日間標定物。在這種儀器的輔助下，高斯得以測量較以前更遠的距離，同時擁有更高的精度。很快地，回光儀成為當時大型測地計畫的標準配備。高斯對他發明的儀器有一段阿基米德式的評語：「把一百片面積1.5平方公尺的平面鏡擺在一起，就足以用回光儀發送出清晰的信號光，直抵月球。」

　　身為一位高明的數學家，高斯很自然地也使用數學方法處理實務上的問題。三角測量所使用的基本數學相當容易：從一段已知精確長度的基準線作為三角形的底邊，在兩個端點測定與特定目標（作為頂點）的夾角，再使用三角函數求得另外兩邊長。重覆進行相同的操作，就能將整個目標區域納入以三角形為基本構造的網格內。然而，該如何使用量測數據是個大問題，因為誤差是無法避免的。即使改善測量技術減少人為誤差，仍然無法消除因各種因素造成的隨機誤差，這使得對相同目標物的測量會出現不同的數據，而恰當的數值為何則仍有待決定。

　　面對這個問題，高斯以數學上的「最小平方法」（method of least squares）來消除誤差的影響，這是他在計算穀神星（Ceres）軌道時發展出的方法。他假定了誤差會以鐘形曲線的形態出現，並且求出了最小化誤差量平方總和的解。實際測量時，就能夠使用額外的量測數據來消除誤差。這部份的研究成果至今仍出現在工程領域的大學數學課本裡。即使擁有當時最先進的數學工具，高斯的測地成果仍然不能彌補因為實際作業困難造成的偏差，使成果無法達到他所期望的精確程度。最終得到的三千多個三角測量點座標被描繪成漢諾瓦王國的地圖，但無法作為非常準確的參考之用。

　　值得一提的是，鐘形曲線的圖形正好又出現在十元馬克的正面。或許那群製鈔者真的把在漢諾瓦進行的測量計畫視為高斯一生中最重要的事件。

　　鑽研過數學的人都曉得高斯在數學歷史上的地位，但是在一般大眾的心中，他到底是什麼時候變得知名、受到普遍的尊崇呢？他的初試啼聲來自對於矮行星的觀測，因為天文學研究在當時受到很大的注目，讓他成為擁有國際知名度的學者，卻也僅限於學術圈。在這之外，身為一位理論派的數學家，高斯發表的的成果總是充滿了讓人望之卻步的數學式子，因為領先他的時代而很少受到理解。高斯在數論方面重要的著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）甚至因為經費短缺而被迫刪節出版。

　　也許正是大規模的測地作業提供了機會，它所牽扯到的現實考量、它帶來的實際效益，讓高斯本人的聲望跨出了狹小的數學與天文學圈子之外。在接下了測地任務並有了顯著進展後，高斯被視為當時最傑出的測地人員之一，為之後的大地測量立下了新的標準，而這是個比天文學和純數學更有實際影響力的領域。這可能就是那些製鈔者想要表達的事情：高斯在測量方面的成就讓他得以真正接觸同時代的人們，並且為社會貢獻出心力，而這張十元馬克鈔票正是榮耀他這一面的獎章。

作者簡介

本文作者為國立交通大學電控工程研究所碩士，目前是中華民國陸軍測量兵。

責任編輯：MissZoe