【CASE圖書館】《公尺君與他的單位小夥伴》單位的祕密——幸運的電阻
《公尺君與他的單位小夥伴》搶先看！
文／產業技術綜合研究所 計量標準綜合中心物理計測標準研究部門 首席研究員、應用電力標準研究小組組長 金子晉久
之前出差時投宿的旅館房間是1823號房。櫃台前我微變的臉色，也許早已不小心洩漏出心中的悸動。搭乘電梯，找到房號，打開房門的瞬間，我大致確定了某個猜想。迫不及待進了房間，連行李都無暇整理就開始進行計算。正如預料是質數沒錯，似乎預告著這趟出差也會一切順利。世界上沒有不喜歡質數的科學家，應該吧。
就像物理學家的皮箱密碼是「 0137」， 數學家的車牌號碼是「1729」一樣的理所當然，因為那是他們心中最偏愛的數字。但世上之事大抵如此，不想皮箱密碼太好猜而故意避開這組數字，中意的車牌號碼遭到家人反對而被駁回。遇到這種情況大多只能妥協著挑選「2525（日文音同笑咪咪）」之類有點難為情的號碼。「137」是粒子物理學中，經常出現的精細結構常數的倒數之近似值，同時也是一個質數，是物理學界無人不知無人不曉，廣受喜愛的數字之一。「1729」則是因為哈代與拉馬努金一則關於計程車的逸聞而赫赫有名的一組數字，這個數在所有可以用兩個立方數之和來表達而且有兩種表達方式的數之中是最小的，是數學界無人不知無人不曉，廣受喜愛的數字之一。對他們各自來說，是很好記的多位數字。
精細結構常數的倒數，為光速、電氣常數（又稱真空電容率）、普朗克常數以及基本電荷（電子所帶的電荷）的平方值之組合表示而成的無量綱量。這些不是極端龐大就是極其微小的基本物理常數， 組合後卻得出137這個乾淨俐落的數字。舉例來說，光速大約是108這個程度的大小，磁常數則是10-7（正確為⇒電氣常數則是10-12），普朗克常數更是到達10-34，而基本電荷本身已小至10-19，平方之後到達10-38的程度。驚人的巧合下，這些常數組合之後，彼此的乘冪剛好可以互相消除，得出約137這個簡單明瞭的數字。
在國際單位制中，光速與磁常數是一個定義值。考慮到這點的話，精細結構常數之倒數的測量不確定度，便直接關係到普朗克常數與基本電荷平方值的測量不確定度了。具體來說，可以用（普朗克常數）÷（基本電荷平方值）的比例關係來表示精細結構常數之倒數。而該比例常數中，包含了光速與磁常數。
事實上，（普朗克常數）÷（基本電荷平方值）這個關係式本身就代表一個基本物理常數，稱之為馮克立曾常數，其值約為25813。又是一組乾淨俐落又好記的多位數字，實在太美了。很久以前我的電腦密碼就用了這個數字，不過馬上就會被拆穿，還是不要用的好。
更令人驚奇的是， 馮克立曾常數的單位為電阻Ω ， 意即（普朗克常數）÷（基本電荷平方值）∼約為25813Ω。這裡看似遙不可及的粒子物理學，居然與大家日常熟悉的三用電表量測電路互有關聯。實際上這個常數稱為量化霍爾電阻，經常運用在凝態物理學，尤其常運用在奈米尺度下的物理學中，這個常數的發現者－－馮・克立曾先生獲頒諾貝爾獎的研究，論文命題《基於量化霍爾電阻精確量測精細結構常數的新方法》便一語道破了這點。
這個量化霍爾電阻，也因其驚人的量測準確性及安定性，而被採用為「電阻值的標準」。實務上也常使用該常數的一半值，約12906Ω的量化霍爾電阻值來進行量測。更令人驚喜的是，以目前的電子量測技術，所能達到最低不確定度的量測範圍，正好落在10000Ω附近，正可謂完美的咬中甜蜜點。這些不是極端龐大就是極其微小的數值組合，命運般的恰好落在人類發明的量測方法下最容易量測的數值範圍內，有如奇蹟一般，太幸運了。亦或者有什麼潛在的必然性存在其中也說不定。如果有一個世界，基本物理常數跟我們所在的世界稍有一點出入，連帶的電阻標準也會變得不那麼好用吧。當然，可能的話，該世界不同於我們的﹁智慧生物﹂或許使用著不同的精密測量法也說不定。即便如此，也有專屬該世界的幸運巧合存在吧。
搶先閱讀：＜第6章 電流＞