蘭道的典範之一:費米液體(一)

■本文中跟大家介紹一個古老、基本但歷久彌新的基本概念,希望讓大家開始了解一點平常大家嘴中的費米液體是什麼。

撰文|蕭維翰

有時候筆者會猶豫要集中心力在介紹理論物理上最新鮮的點子還是花點時間跟大家說明一些已經成文的事實。就學習物理這種基礎科學的概念而言,應該要多少著墨後者,以免在學習新知的時候,鴨子聽雷事小,道聽塗說、以訛傳訛就就與科普的原意南轅北轍了。另一方面,就寫作的角度,著墨於對筆者本人是很吃力不討好的,一來並不刺激,二來成文的知識已有很多文獻可以閱讀,筆者的剖析未必能比任何現有的經典還要深刻—最省力的方法,就是丟給大家一本聖經的名字,讓有心人去細究。

然而,筆者同時也當過學生,深深明白—沒有人平白沒事會去找(原文、抽象、又充滿數學的)書看的。

所以在完結霍爾效應相關的故事後,考慮了幾週,決定花點時間講點一些筆者總是不小心就未經解釋的使用、比大一物理難一點點,卻應該有辦法有直覺圖像的故事。

今天第一個故事就是費米液體理論(fermi liquid)。

費米液體其實跟費米(E. Fermi)本人八竿子打不著關係,事實上當蘭道(L. Landau)在約略 1957 年寫出論文的時候,費米已經去世了(1901-1954)。

所以費米液體理論又是蘭道的另外一個遺產。事實上,在文獻中,人們常常把這個理論跟蘭道相變化理論並稱為蘭道的典範(Landau’s paradigms),或者打趣的說,在蘭道在凝態物理內留下的標準模型。

那切確的來說,費米液體理論在討論什麼事情呢?它主要針對一個費米子系統,然後費米子之間可以有二體的交互作用,基本上就是金屬性質最最簡化的描述。這看起來是一個大家都在做的問題,但在交互作用的形式上,蘭道並沒有寫下很具體的,譬如核交互作用、庫倫交互作用等,他反而是用一堆現象學參數來表示二體交互作用的強度,這些參數在現在的課本中被稱為蘭道參數( Landau parameters),讓我多花幾行字說明這些蘭道參數的物理意義,讓整件事情聽起來不那麼抽象。

量子物理學中要研究交互作用,其中一個方法就是計算兩個粒子對撞後的散射振幅。一般人採取的方法是先寫下一個微觀模型,然後透過這個模型去計算散射振幅。蘭道參數,基本上從這個概念出發,但採取了一個現象學式的做法—在費米液體理論中用來描述交互作用強度的蘭道參數,直接正比於散射振幅。

Figure1. 費米液體描述的主要自由度是圍繞在費米面附近(紅色虛線)的準粒子。圖中我們用藍色實線表示平衡態的費米面,表示所有費米子都依據庖立不相容原理堆積在最低的可能能量。當外界施加一點能量時,只有在費米面附近的費米子可以被激發。

那這樣的表述有什麼特別之處,讓這個理論在眾多類似的描述中脫穎而出呢?

在揭曉蘭道的觀點以前,我們可以先聽聽一個有趣的事實。在進行費米液體的計算之前,人們其實先進行了(簡併)費米氣體的計算,所謂「費米氣體」的模型,亦即一堆自由費米子,任兩個粒子間沒有交互作用。這個問題的計算難度並不高,除了在絕對零度的性質,赫赫有名的 Sommerfeld 開發了一個系統性的展開式(教科書中稱為 Sommerfeld expansion)幫助我們計算費米氣體在低溫的熱力學性質。

然而,沒有交互作用的假設終究是不那麼實際的。在熟稔費米氣體的問題後,人們很快地便嘗試把庫倫交互作用放到模型中,使用微擾的方法來計算庫倫作用對電子氣體的修正。

有趣的結果是,如果我們就按照大學部量子力學課本教的方法直腸子地進行計算,考慮交互作用的模型的計算結果,比完全沒有交互作用的玩具模型,跟真實實驗相差更多。

意思是,你把實驗結果拿去跟 (i) 完全沒有交互作用的電子氣體 (ii) 未重整化的庫倫氣體兩者計算結果比較,電子們間還比較像沒有交互作用。這個結果其實可以有比較直觀的理解方法,從大一普通物理我們知道,若你把一個電荷放到介電質中,周圍的電荷們傾向重新分佈去屏蔽這個外來電荷。在成群的帶電的費米子中也是一樣的,因此,費米子間看到的庫倫交互作用其實比原來「裸露」的庫倫作用弱得多。

回到費米液體的思路上,蘭道透過他的敏銳的物理洞見,指出在低能量尺度、低溫的極限中,根據動量、能量守恆與庖力不相容等基本原則,具有伽利略對稱性的費米液體的低能量自由度是一堆定義在費米面(Fermi surface)上的準粒子(quasi-particles),他並指出,每一個準粒子的物理態跟原本簡併費米氣體中的物理態是絕熱(adiabatically)對應的。

用最簡單的話講,費米液體理論之所以會簡單,是因為它幾乎跟費米氣體一樣是個沒交互作用的理論(free theory)只不過在費米氣體中的主角是一堆真的費米子,但在液體中是一堆被重整化的「準粒子」。

在下文中,筆者將探討:
1. 為什麼「準粒子」是個不單純而重要的概念。
2. 蘭道費米液體這個理論能給我們什麼預測以及他在哪裡獲得成功,那到了二十一世紀有什麼金屬的物理是超越蘭道費米液體的描述範圍。

Figure2. 一個典型的二體交互作用示意圖。在費米液體的描述中,交互作用的強度直接以正比於散射振幅的量:蘭道參數來表示。

--
作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

加入好友

人瀏覽過