從牛頓的時代背景探索第二運動定律

撰文｜趙光安教授

●前言

牛頓的萬有引力定律及三條運動定律，都和「力」關係密切。因此，如果我們要討論牛頓創立的古典力學，應該先釐清，在牛頓之前，「力」的觀念是什麼？到了牛頓的時代，「力」的定義又是什麼？如果不明白「力」的定義，我們還是可以機械式的把牛頓力學「應用」到各類問題上，但是很難「認識」牛頓力學的根源。

●在牛頓之前，對「力」的探討

在很久以前的時代，「力」只是一個觀念，阿基米德（Archimedes）認為「力」有兩種，一種是「下墜力」，把物體往下拉，另一種是「浮力」，把物體往上推。通過使用「力」，一部機器可以做工，因為「力」只是一個觀念，就無法決定多少「力」能做多少工。發展到亞理士多德（Aristotle）時代，他進一步把一個物體的「態」分為靜止和運動。亞理士多德把「力」和運動連結起來，認為如果加在一個物體上的力消失，這個物體就停止運動，但是這理論無法解釋，為什麼一支被射出的箭，在離開弓弦以後還能繼續飛行。他只能勉強的說，那支箭排除了空氣，這些空氣會產生「力」，這個「力」就推著這一支箭繼續往前飛。

此後雖然很多人持續不斷的研討「力」和「運動」，但是沒有多大的進展。直到十四世紀，法國的哲學家布里丹（Jean Buridan 1300－1358）提出了「衝力論（Impetus）」。如果有一個人投擲一塊石頭，人是「運動源」，石頭是「運動物」。當一個物體處於運動狀態時，「運動源」已經把一些「衝力」放在「運動物」中，依靠這個「衝力」，「運動物」就可以繼續運動。至於一塊石頭被投擲出去以後，為什麼會逐漸減速，最後落在地面，那是因為空氣阻力和石頭的重量，削弱了石頭裡面的「衝力」，直到「衝力」完全消失。布里丹用一個數學關係式把「衝力」定義為：

「衝力」 ＝ 「運動物」的重量 X 「運動物」的速度 。

這是後來牛頓力學中「動量（Momentum）」的起源。布里丹的「衝力論」被他的學生Dominicus de Clavasio修正如下：當一個物體開始運動時，「運動源」在「運動物」上加了「力」，通過這個「力」把一些「衝力」放進「運動物」中。至於「力」是什麼，他沒有更多的解釋。

再經過大約二、三百年，到十七世紀初期，義大利的科學家伽利略（Galileo Galilei 1564-1642）開始用實驗來探討「衝力」和運動的關係。他把各種不同材料，不同重量的球形物體，放在一片傾斜的平滑面上，從「靜止態」開始往下滾動。伽利略得到了兩個重要的結論：

• 一個運動中的物體，如果不受到外界的干擾，這個物體就沿著一條直線，以不變的速度向前進行。
• 兩個不同的物體，譬如一個鐵球和一根雞毛，從同一高度掉落到地面，如果不受空氣浮力的干擾，會在同一時間到達地面。

這兩條結論，是教古典力學必不可缺的基本教材。此外，伽利略還有另外一個重要的發現。他的實驗中的滾動物體的速度，不是一個定值，而是隨著時間增加，布里丹的「衝力論」無法解釋這個現象。（我相信）伽利略和牛頓都很嚴肅的思考了這個疑問，只是在文獻裡，我找不到伽利略如何處理這個疑團。

●牛頓給力一個定義：第二運動定律

在伽利略和牛頓的時代，數學工具只有幾何、三角、和代數，物理知識也僅限日常生活中有系統的觀察，及少數的實驗結果。用現代的標準來衡量，伽利略和牛頓頂多只有國中畢業的程度。如果我們用現代的數理常識背景來解答三、四百年前的問題，那就是「事後有先見之明」了。雖然和「力學」有關的量測，伽利略得到的數據被推崇是權威性，然而他的「力學」實驗幾乎全部是基於物體的直線運動。在這個時代背景下，牛頓建立的理論，是從「一維系統」開始，然後才推廣到「三維空間」。因此，我們也從直線運動開始，試試看能否經歷一趟牛頓的思路。

我們再看看布里丹的說法：“當一個物體開始運動時，「運動源」在「運動物」上加了「力」，通過這個「力」把一些「衝力」放進「運動物」中”。很顯然的，在一個物體開始運動以後，它擁有的衝力就不會改變了，根據衝力的定義，這個「運動物」的速度也不會改變。不過我們可以從伽利略的實驗結果開始，反轉來分析問題。伽利略發現，隨著時間增加，傾斜面上滾動物體越滾越快，因此，它擁有的衝力就隨著時間增加。符合邏輯的結論應該是：在整個運動過程中，一直有一種「力」加在「運動物」上，不斷的放進衝力。問題是：這個「力」是如何產生的？跟隨著這個「力」，「運動物」的速度如何改變？伽利略是1642年逝世，他在生前不知道答案。牛頓是1643出生，用他發現的萬有引力定律，和他發明的微分法，牛頓把答案找到了。

（我相信）伽利略和牛頓都看到下面這個最基本的問題：多大的「力」能改變多少速度？在他們那個時代，「力」只是一個沒有量化的概念，因此，只能先探討「速度改變多少」這個議題。伽利略所做的「古典力學」的實驗，很大的部份都是量「運動物」的位置和時間的關係。物理教學習慣用“x（t）”來標示一個物體在“t”時間的位置。伽利略量出，「運動物」在t1時間的位置是x(t1)，在t2時間的位置是x(t2)，於是在「平均時間」t12=(t1+t2)/2，及「平均位置」x(t12)=[ x(t1)+ x(t2)]/2，這個「運動物」的速度是v(t12)= [ x(t2)－x(t1)]/ (t2－t1)。這是計算“位置隨時間的改變率”。牛頓用同樣的方法來計算“速度隨時間的改變率”（正式的名稱是“加速度”）。為了避免表達上的誤解，我重述一遍計算方法。如果「運動物」的速度在t1時間是v(t1)，在t2時間是v(t2)，那麼在「平均時間」t12=(t1+t2)/2，及「平均速度」v(t12)=[ v(t1)+ v(t2)]/2，這個「運動物」的加速度是a(t12)= [ v(t2)－v(t1)]/ (t2－t1)。

三、四百年前，沒有精凖的量測儀器，也沒有精凖的計算尺，伽利略量出的數據和牛頓算出的數目到底多麼準確？我必須說：現代的人依靠設備，古代的人依靠頭腦。舉一個例子來說明。今天有多少理工科的博士能算出圓周率的值？他們都會查數字表，都會用電腦，可是不會像古代人那樣想方法。在兩千兩百年前，阿基米德就發明了“趨近法”，用它來計算“精確值”。他用平面幾何的方法，得到了一個算數關係式，如果知道「等邊n邊形」的周長，用這個算數關係式，就能立刻算出「等邊2n邊形」的周長。阿基米德在一個“圓形”裡面放一個最大的“等邊六邊形”，再在“圓形”外面放一個最小的“等邊六邊形”，用“直徑”為長度的單位，從六邊形的周長開始，一步一步的算十二邊形的周長，二十四邊形的周長，四十八邊形的周長，九十六邊形的周長，得到的結果是：從圓形內的多邊形計算，圓周率的值是三又七分之一（3.142857），從圓形外的多邊形計算，圓周率的值是三又七十一分之十（3.140845），而一般教學用的圓周率的正確值是介於這兩個數之間的3.1416。如果阿基米德再繼續推算三、四步，就算出圓周率是3.1416了。

用伽利略量出的數據，牛頓算出的結果是：滾動物體的速度“v(t)”的增加，和時間“t”的增加是線性關係；但是加速度“a(t)”卻是一個固定數值，和時間“t”的增加無關。牛頓在得到這個重要的結果以前，在1666年他還是二十三歲時，就已經發現了萬有引力定律，他知道在地球表面上的物體，受到的地球引力也是一個固定數值。到此時，是「水到渠成」了，就是這個固定數值的地球引力，產生了這個固定數值的加速度“a(t)”。牛頓注意到，“力”還是一個概念，沒有被“量化”，就不能夠量出“力”的數值是多少。根據在伽利略的運動物體實驗中，物體質量所扮演的角色，以及根據一個物體所受到的地球引力和該物體的質量成正比，牛頓走出了非常重要的一步，他給“力”下了一個定義：

一個物體所受的力 [f(t)] ＝ 該物體的質量 [m ] X 該物體的加速度 [a(t)] 。

通過量測質量和加速度，就量出了力。我們都熟悉長度的單位「公尺」和時間的單位「秒」，由此可決定加速度。至於質量的單位，根據「國際單位制」，用一種鉑銥合金（90％的鉑及10％的銥）造成39.17mm的直立圓柱體（高度=直徑），這個“國際千克原器”的質量是“質量的單位一公斤”。在質量一公斤的物體上，產生一“公尺/(秒秒)”的加速度，需要的力是一“牛頓”。為了紀念牛頓，就把他的姓氏做為“力”的單位。

牛頓需要思考的下一步是：如果一個運動物體的加速度隨時間改變，是否也適合用“牛頓力”的定義 f(t)=ma(t) 來測量隨時間改變的力？牛頓發明了“微積分”來分析在“瞬間”內的運動變化，證明了還是可以用f(t)=ma(t) 來定義力。我在此必須說明，和牛頓同時的德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz），也在研究微積分，當時牛頓住在英國劍橋，萊布尼茲住在法國巴黎，他們兩人通過信件來討論研究的進展，可是劍橋和巴黎之間的郵件傳遞很慢，送一趟信需要花至少六星期，於是“誰先發明什麼”就成了糾纏不清的問題，萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：「確認牛顿是微積分的發明人。」我寫「牛頓發明微積分」是根據這個公告。

牛頓需要思考的再下一個問題是和質量有關。從布里丹的「衝力論」開始，就不能離開質量來討論力，伽利略量出的數據，也隱含著質量這個因素，雖然在他的每一個實驗裡，被測量物體的質量是不隨時間改變的。布里丹定義的「衝力」，演變到後來成為「動量 (momentum)」，於是牛頓第二運動定律，也是「力」的定義，被修改為

f(t) = 動量 [m(t)a(t)] 隨時間的改變率 =  d[m(t)a(t)]/dt 。

最後一項的寫法是微積分的表達式。隨著科學與工業技術的進步，這個修正的重要性越來越明顯。以航空為例，一架波音七四七客機的油箱可裝大約140噸的油，在正常的巡航情況下，一小時要燒掉大約12噸的油。因此，飛機推動力的計算方式，就必須放進“飛機重量持續減低”的這一個因素。至於對飛彈的精凖導航，那就更重要了！

我從伽利略的實驗數據開始，所做的都是在一維空間裡，物體運動的分析。正確的牛頓第二運動定律，或是「力」的定義，應該是，物理教科書中寫的，三維空間的數學表達式。從第二運動定律出發，可以推算出：加在一個物體上的力所做的「功」，就等於該物體增加的動能；位能的改變可以產生力；動能和位能加在一起的總能量守恆定律；… 等等，重要的結論。

最重要的是，牛頓第二運動定律提供了一個微分方程式，如果知道力的數學表達式，就能解這個微分方程式，再根據“初始條件”，就得到在任何時間，一個運動物體的位置、速度、和加速度。牛頓在1666年發現萬有引力定律以後，花了很多時間研究微積分，然後再解行星運動的微分方程式，得到了行星的運行軌道，最後，1686年在英國皇家學會完整的講述了「萬有引力定律」。

再過一年，1687年，牛頓的經典巨著 "Principia Mathematica Philosophiae Naturalis." 出版了，牛頓的第一、第二、及第三運動定律正式問世。

●後語

在牛頓的那個時代，學術研究是開放式的，很多新的觀念和新的構想，都是通過同儕之間的討論辯解，釐清了困惑，得到共識。因此，在一個小的物理數學的學術圈內，發表論文的內容，需要寫明白的是嚴謹正確的結論，並不重視文字解說。這些用拉丁文寫的論文，兩百多年以後，經過“非物理專業”的拉丁文學專家，翻譯成英文，我們就非常非常難跟隨，三百多年前的原著者的邏輯思維路線。以上所敘述的，是「下愚」的我所能做的最好的推論：牛頓力的定義和第二運動定律是一體兩面。

牛頓第一運動定律（又叫做“慣性定律”）是：在一個參考系中，不受外力的物體都保持靜止，或作等速直線運動。這和伽利略從滾動物體實驗所得到的第一個運動規則，基本上是一樣的，也能從牛頓第二運動定律演化得到（把力設為零）。至於牛頓從什麼邏輯導出第三運動定律「兩個互相作用的物體，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反」，對我來說，是一個不解的謎。過去，在我思考牛頓的萬有引力定律時，也遇到同樣的謎。如果用M代表太陽的質量，用m代表地球的質量，用R代表太陽和地球之間的距離，我能懂太陽對地球的引力是正比於 [m/(RxR)]，地球對太陽的引力是正比於 [M/(RxR)]，但是我真的搞不懂，為什麼太陽和地球之間互相的引力是正比於 [(mxM)/(RxR)]？現在我們可以把一塊石頭拿到月球上去量它所受的引力，和它在地球上所受的引力比較，就能證明為什麼出現 (mxM) 這個因子，可是這個實驗在三百多年前是做不到的。我只能徹頭徹尾的推崇，這是牛頓的無人能及的天才之處！

曾經有人這樣解釋，原文如下：Newton's Third Law is a result of applying symmetry to situations where forces can be attributed to the presence of different objects. The third law means that all forces are interactions between different bodies, and thus that there is no such thing as a unidirectional force or a force that acts on only one body. 供各位參考。