電磁對偶（S-Duality）與歐姆定律（下）

■本文中我們以一個幼稚園版本的例子說明電磁對偶性如何幫助我們計算材料的電導率。

撰文｜蕭維翰

在上文中筆者闡述了想解決的問題，也就是電阻 / 電導的計算，並透過費曼圖的角度嘗試去說服讀者這是個困難的問題，接著也複習了電磁對偶性，並深入一點點，探討在什麼情況下它才是個不無聊的性質。

長話短說，我們需要一個沒有電荷、電流的空間，在邊界上有一個允許有電荷、電流的薄膜。

在本文我們將從這裡出發，並且粗略地描繪怎麼利用這個特性來計算。

電磁場在三維空間中無疑問地遵守馬克斯威方程式，當電磁場逐漸靠近區域的邊界時，從馬克斯威方程式中可以推導出在邊界上電磁場跟表面電荷與電流應當遵守的關係。這些故事可以在標準的大學部電磁學課本中找到，在這邊，筆者打算犧牲一點嚴格性，以直覺上可以理解的方式直接講結論。[1]

從高中三年級的課程中我們知道，假設有一個無窮大的平板上頭有均勻分布的電荷，整個電場也會是均勻而且垂直於平板，強度正比於表面電荷密度。今天即便邊界可以是滿任意的二維曲面，並且電荷分佈可以不均，但當我們無窮靠近這個邊界時，只要這個曲面足夠平滑，上面的情境依舊可以套用，大致上，靠近邊界的電場，它垂直邊界的分量對應到該點的電荷密度。

類似的，倘若有一個無窮大的平板躺在 x-y 平面上，上面具有均勻的 y 方向的電流，在 z > 0 的區域，從右手定則可以知道，具有 x 方向的磁場。套用上面的論證，即使邊界是二維曲面，且電流隨每一個點具有不同方向與量值，在無窮靠近這個面的時候，約略而言，靠近邊界的磁場，平行於邊界的分量對應到該點的電流轉 90 度。[2]

在我們要考慮的簡單例子，這個二維薄膜就由 x-y 平面表示，三維空間則由 z>0 定義。則上面說明的邊界條件可以寫為

（靠近薄膜的電場垂直分量）E_z ~ ρ （薄膜上的電荷密度）

（靠近薄膜的磁場 x 分量）B_x~ J_y （薄膜上的電流密度的 y 分量）

在這邊磁場的垂直分量，跟電場的平行分量並沒有被決定。

而我們的歐姆定律，可以寫為

J_y = σE_y

接著對偶性要出場了。我們知道在 z>0 的空間中， (E, B ) 的電磁學跟它的對偶 (E ’,B ’) = (-B, E ) 描述基本上一樣的電磁學，而靠近邊界 E_z’ ~ ρ’， B_x’~ J_y’。

J_y = B_x= -E_x’= - (J_x’/ σ’) = ( B_y’ /σ’ ) = ( E_y /σ’)

但歐姆定律又告訴我們，J_y = σE_y 結論是

σσ’ = 1

我們或許無法計算 σ 或 σ’，但我們知道他倆的乘積。同時在上半集中我們有提到，電磁對偶性把交互作用強度從 e 映射至 1/e ，也因此兩理論有個自對偶點 e =1/e，在那個點兩理論完全相等，所以 σ = σ’= 1。

事實上，只要系統有這個數學結構，我們不只可以決定電導係數，在自對偶點，我們可以決定一部份的電熱係數，與熱導係數。

在弦理論中有一個概念是，全息對偶，一如全息影像，此對偶性表明在某些模型中，一個 d+1 維空間的重力理論等價於一個 d 維邊界的量子場論。這基本上就是我們上面講的三維無電荷的空間與二 維有電荷的薄膜，也因此在某個全息模型中，學者在接近十年前便利用這個數學性質決定了電導係數。[1, 2 ]

另外從邊界條件和對偶互換的性質可以得見，J_y ~ -E_x’， ρ ~ B_z’，電流密度在對偶性轉換之下變成平行方向的電場，而電荷在對偶轉換之下變成垂直方向的磁場。回顧量子霍爾效應的最終章，在迪拉克複合費米子一文內的表格清楚地載明這便是粒子漩渦對偶。也的確，學者們已經推演出，若將迪拉克費米子放在 3 維的電磁場中，電磁對偶可以幫助理論學家計算在自對偶點的電導、熱導與電熱係數。[3]

參考資料:

[1] C. P. Herzog, P. Kovtun, S. Sachdev, and D. T. Son, Quantum Critical Transport, Duality, and M theory, Phys. Rev. D. 75, 085020 (2007).

[2] S. A. Hartnoll, and C. P. Herzog, Ohm’s Law at Strong Coupling: S Duality and Cyclotron Resonance, Phys. Rev. D. 76, 106012 (2007).

[3] W-H. Hsiao, and D. T. Son, Duality and Universal Transport in a Mixed-Dimensional Electrodynamics, Phys. Rev. B, 96, 075127 (2017).

 

註解:

[1] 我必須承認這是「我需要的結論」，而不是精確的方程式。

[2] 我講「大致上」、「約略」是因為這些「對應」的方式，在每一個特定的模型略有出入，跟標準電磁學課本中見到的邊界條件也會有些許不同。

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。