【地球科學】地球有顆年輕的心

■一位丹麥物理學家根據廣義相對論的推論，發現地心的年紀可能比地殼年輕約2.5年。

撰文｜陳勁豪

一般而言，地質學家跟地球物理學家都同意地球的年齡約是45.4億年左右。測定地球年齡的方法一般是利用放射性元素的數量並配合其半衰期所測量而得。這基本上可以看作是地球整體的年齡。

根據愛因斯坦的廣義相對論，物體受的重力會造成時間延遲效應，簡單的說就是如果物體受到較大的重力，那麼它所感受到的時間流動會比較慢。舉例來說，當我們站著的時候，我們的腳底所受到的來自地球的重力比頭頂來的大一些，所以我們腳底的時間會走得慢一點，或是說我們的腳底比我們的頭頂「年輕一點」。

考慮地球是個半徑為6400公里的岩石狀球體。學過高中物理的人大概都有印象，如果假設地球是個實心球體，那麼從地心到地表，不同的深度就會有著不同的重力場。換句話說，地心跟地表所受到的重力場其實不一樣強。根據這個概念，著名的物理學家費曼曾經估計地心比地表的年紀大概年輕幾天左右。

因此從這個觀點出發，丹麥 Aarhus University 的物理學家 Ulrik Uggerhøj 跟他的另外兩位同事決定仔細檢查這個說法的正確性。他們首先做了簡單的計算。他們假設地球具有均勻密度，然後計算地心跟地表的重力位能。地心與地表的重力位能分別為 (-3GM/2R) 與 (-GM/R)，因此可以計算地心與地表的重力位能差為 (-GM/2R)。根據廣義相對論，由重力位能差所造成的時間延遲率為 (-GM/2Rc^2)，或是約3*10^-10，也就是約三十億分之一。這個數字雖小，但是考慮地球的年齡為45.4億年，這樣一算下來，他們得到地心會比地表的年紀小約1.5年。大約比費曼估計的數天，大了大約上百倍。

如果把這些以上的計算略做修改，並帶入更仔細一些的地球密度分佈，他們發現這個數字會變成2.45年。所以如果是作快速的估計，用均勻密度所估計出來的結果(1.5年)並不算太差。

他們也把類似的計算應用在太陽上。太陽的質量更大，半徑更大，則太陽中心與太陽表面的重力時間延遲效應會讓兩者的年紀差別差上約四萬年。

當然我們沒有辦法實際利用實驗方法來檢驗地心是否的確比地表年輕2.49年。但是有趣的是雖然地表與地心的重力位能差只有數十億分之一，但是放大到宇宙的時間尺度，例如地球年紀的46億年，得到的差值依舊相當可觀。所以儘管效應相當微小，但是依舊不可輕忽這些效應！

原始論文：The young centre of the Earth
參考資料：New Scientist 216/04/22: Earth's core is two-and-a-half years younger than its crust

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作者：陳勁豪　科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。2011年於美國紐約州立石溪大學(SUNY at Stony Brook)取得博士學位，研究主題為相對論性重離子碰撞(Relativistic Heavy Ion Collision)。長期擔任中文科學新聞網站「科景」(Sciscape.org)總編輯。