【物理發展史】羅倫茲（Edward Lorenz）和蝴蝶效應
翻譯? ∣? 蕭如珀、楊信男（台大物理系名譽教授）
■ 《物理雙月刊》（三十卷一期） 2008 年2月 本月物理史?
。大約1961 年1 月：羅倫茲（Edward Lorenz）和蝴蝶效應（譯自APS News，2003年1月）
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對於一般門外漢來說，渾沌（Chaos）這個概念帶給他們的是一種全然不可預測的印象，但對於科學家來說，它卻是表示在因果系統（deterministic system）中的隨機行為，也就是說，系統對於測量太敏感，以致於產生的結果雖然有著根本的秩序，但看起來卻很隨機。這個看似矛盾的觀點出自從數學家改行成為氣象學家的愛德華‧羅倫茲（Edward Lorenz, 1917-2008）之手。他陰錯陽差地發現了此現象，隨即孕育出現代渾沌理論的領域，並永遠改變了我們檢視像天氣等非線性系統的方式。
羅倫茲小時候就對天氣非常著迷，常在康乃狄克州西哈特福父母家的屋子後面觀察著溫度計，記錄氣溫的高低；他也對數學感興趣，經常和父親一起解數學難題。1938 年，羅倫茲自達特茅斯大學畢業後，計畫步入數學領域，但爆發了第二次世界大戰，他在陸軍航空兵擔任氣象預報員，使得他的計畫出現了變化。後來，他決定就此鑽研氣象學，發表過一般大氣循環等議題的文章，所以很早就成名。
羅倫茲對氣象預報特別感興趣，當時的預報雖能藉助於科學儀器，但大部分仍是直覺性的猜測工作。由於電腦的問世，羅倫茲看到了將數學和氣象學結合的機會，所以他開始建造一個氣象的數學模型，利用微分方程式來代表氣溫、氣壓、風速……等的變化。1960 年代初期，羅倫茲用了12 個微分方程式建立起一個氣象系統的架構；他持續地在極原始的電腦上模擬天氣的變化，每分鐘可以算出虛擬一天的天氣。此系統在模擬天然發生的天氣型態所算出的資料相當成功，完全不會重複，但卻清楚地有著潛在的秩序。
1961 年的一個冬日，羅倫茲想要檢視一個特定演變的詳細內容，但是他決定抄捷徑。他不想整個重頭算起，想從中途開始，所以就直接輸入電腦先前得到的結果做為初值。之後他下走廊去喝咖啡，當他一小時後回來，卻有了意想不到的發現。電腦並未重複之前的計算，新結果顯示出虛擬的天氣和先前的型態很快地就出現了差異，以致於在短短幾個虛擬的「月」中，兩個型態中的相似度就完全消失了。
羅倫茲起先以為電腦的真空管變差了，那是一部Roy McBee，以現在的標準來說速度極慢，又簡陋。但令他驚訝的是，電腦的功能沒問題，問題是出在他所輸入的數字上。電腦的記憶體中儲存的數值到小數點後面六位數字：.506127，但為了節省列印空間，只顯示了三位數字：.506，羅倫茲輸入的是小數點後面三位數字，他以為捨掉了千分之一的差別是不重要的。
這似乎是合理的假設，科學家所被灌輸的教育常常是，初始的小變動在任何一個物理系統中只會導致行為上的小變化，甚至到目前為止，通常氣溫都沒有測量到小數點第三位。羅倫茲的電腦使用了純粹因果性的方程式系統，因此輸入一個特定的初值，「天氣」就會每次都以完全相同的方式演變；使用些微不同的初值會讓天氣的演變有一點點不同。羅倫茲認為一個數字上很小的差異就像一小陣風，不可能實際影響重要、大規模的天氣特性。但在羅倫茲所採用的這一特定的方程式系統中，卻證明如此小的錯誤引發了巨大的改變。我們現在知道此現象是對初始狀態的高度依賴。羅倫茲隨即將他的發現稱之為「蝴蝶效應」（butterfly effect），說明決定天氣的非線狀方程式對於初始狀態有著驚人的敏感性，以致於在巴西的蝴蝶拍動翅膀就可能在美國德州引發龍捲風。所以他下結論說，長期的氣象預報注定會失敗。
在過去，像這種觀察到的行為，即從完全具因果性的方程式組所出現的隨機波動，都會被當成是單純的計算錯誤而丟棄，羅倫茲認定這種不規律的行為不是錯誤，而是源自於隨機但無可否認的秩序。這不僅是第一個清楚地證明天氣模型對初始狀況的敏感依賴，而且羅倫茲還說明此現象會發生於簡單且與實際情況相關的模型中。
之後，羅倫茲建造了一套三個非線性微分方程式的新系統，這是一個簡化的對流模型，被稱為「羅倫茲吸子」（Lorenz Attractor）。羅倫茲以為他的運動模型所創造出來的圖像會在達到平衡後停下來，或變成一個循環，最後會折返、重來，顯示出反覆的型態。但事實並非如此，他的圖像顯示出無限的複雜性，總是停在特定的範圍內，但卻絕不重複。它形成一個獨特的雙螺旋形，很巧妙地與蝴蝶的兩個翅膀相似。
自從羅倫茲的發現後，電腦模型成功地將氣象這一行由藝術轉變為科學。但若是超過兩、三天的範圍的話，即使是全球最精確的預測都只能算是揣測，若是超過一星期，這些資料就沒有用了。這樣的弔詭，就是混沌。
進一步閱讀資料：James Gleick (Viking Penguin,1987), “Chaos: Making a New Science”
本文原發表於：高瞻資源計畫平台
CASE網誌圖文好讀版 by MissZoe
在原作者的翻譯上，有一處或許需要作進一步的確認。
第一段提到所謂的 deterministic system（原作翻譯為「因果系統」），很多人會以為 deterministic system 或 determinism 可以直接翻譯成「因果」，事實上現在 determinism 若要翻譯應翻成「決定論」，而 deterministic system 應該可翻作「確定性系統」。
Determinism 的概念雖來自對「因果」（causality）的討論而來，但後來的發展與因果議題所談的焦點已經不同。（中間某一支討論跑到「宿命論」（fatalism）及人類自由意志（free will）的爭論上了）
在科學上，deterministic system 或 determinism 的概念指的是：「當我們有了
一個科學定理後，我們可以用這個科學定理對其所描述的物質狀態做推導，也就是
說這些物理狀態可由科學定理所確定。」因此，在科學上所談的決定論焦點乃是在於科學對其描述的對象具有「推導」（inference）或推理（reasoning）的功能，而適用於某科學定理的物質狀態在理論上可被此定理所「決定」或「確定」。
從這個定義來看，科學上討論 determinism 與因果議題所強調的「因」與「果」間，不可逆或不對稱的關係，兩者論述的焦點與方向並不相同。這個理論脈絡可從 Bertrand Russell, 心理學家 William James, 科學哲學家 Karl Popper，還有著名的 Laplace 妖精等相關論述來定位，論述細節可參考 John Earman (1986) 的 A primier on determinism 一書。
回到這篇文章，混沌概念乃是在挑戰傳統科學理論化所產生的現實問題，科學理論通常會採用「理想化模型」（idealized model），所謂的理想化主要是指在科學定理從假設、觀察與實驗、到由觀察實驗結果形成定理的過程中，科學家往往會忽略一些對所描述概念無影響或影響不大、或是被認為是觀察或實驗誤差、甚至為科學家沒興趣的性質或特性（factor）。比如說簡單的太陽系模型會將每個行星假設為正球體，而論述其運動時會將之設定為球心一點並具有整個球體的質量（central point mass），並置於完美的橢圓軌道上來做運算（有時甚至不大的離心橢圓會被視為正圓去做運算）。所忽略的，便是每個行星質量形狀的不均勻、軌道的不完美、以及每個行星相互間的引力。這樣的模型或運動定律，比起考慮了諸多被認為影響非常細微的因子的複雜定理，甚至無法形成定理，無論在重要物理性質的數學推演，及在實際的應用上，會簡單而方便許多。這樣的定理所描述的「理想系統」，在理論上便是所謂 deterministic system。
當我們一般科學家運用了這些理想化模型來觀察或驗證物理現象時，會發現那些往往被我們忽略，以為是不重要、影響極小、甚是誤以為是觀察或實驗誤差的因素，卻對最後的結果造成了「無法預期」或「無法計算」的巨大影響，而這個改變卻非我們原本所設定的決定性系統（deterministic system）所能推導或決定的，這便是所謂的「混沌」（chaos）。更有趣的，是我們以為整個系統已經被這些小改變小因子弄到全盤皆亂，卻在系統發展到某些特殊的奇異點時（singularity），系統又恢復到有序（order）的狀態，當 Lorentz 將這些運動過程（如羅倫茲水車的運動）畫成物理相位圖時，發現整個運動會圍繞這些奇異點打轉，因此他稱這個為「吸子」（attactor），指的是整個系統不會跑掉，總是在某些時候會出現這些有序的現象，好像這些有序的點會吸引者系統一樣。相關的例子不勝枚舉，本文的進一步閱讀資料 James Gleick 書中有更多從生態學、海洋學、碎型幾何...等領域的混沌與有序相關研究。
最有趣的，是當我們去檢視人類所發展的古典力學、量子理論、熱力學或統計物
理學......時，發現真正能「完全」用它們描述的自然現象並不多....它們所描述的，是一個理想化後的理論世界。這就好比一開始 3D 動畫最令人覺得「假」的地方便是其用物理定律所模擬出來的世界太過「完美」，而當後來各 3D 引擎加入了 chaos 及亂數演算法進去後，其模擬出來的世界似乎接近「真實」了許多....
Eric Yeh