【探索10 】從細胞世界看微分幾何

第四講‧特稿

■ 通俗數學作家史都華說：「數學之於自然界，就有如福爾摩斯之於線索。」如果留心觀察這世界，任何地方總是存在著數學之美與數字模式之奇!

撰文│李俐瑩

序幕：從細胞世界看微分幾何

「每每談到數學，就很像票房毒藥，對話就變得很尷尬，朋友總是希望你不要再講了。」這是我們每個人共有的經驗，對數學的印象。但是，今天我們拿開防衛機制，透過林俊吉教授的「從細胞世界看微分幾何」，精采的演說，暢談數學。

今天的演說分為三個層次：第一部分是北美洲的紅木與奇異的毛細現象；第二部分是紅血球的數學聯想；第三部分則是生物分子的扭結世界。透過這次演說，教授期望讓大家知道「幾何也是力學的另一種面貌，數學隱藏在自然的表象裡面」。我們關心幾何是什麼？數學又是什麼？幹嘛學數學？數學與通才教育的關聯性。

北美洲的紅木與奇異的毛細現象

在「北美洲的紅木與奇異的毛細現象」，我們首先探討毛細現象與樹木的成長。接著，去發現肥皂泡薄膜、極小曲面與均曲率曲面。最後，討論迦太基女王Queen of Carthage狄朵Dido的「一張牛皮」問題。

美國加州199號公路旁的紅木，和車子比起來很高。美國紅木高達一百多公尺，為什麼水可以上去？小學教育的答案，告訴我們是透過大氣壓。透過一大氣壓，水可以上升十公尺。中學的時候，我們知道有根壓，但就算知道是根壓，依然難以被說服。而後，我們學習到毛細現象，就只好告訴自己是毛細現象。但心中的疑問依然存在。

如果管徑越來越細，水就可以跑得越來越高，但是其中有一個限度。所以，關於這些行為，我們首先了解：毛細面有一個「位能」。但這個「位能」，是因為液體的表面張力，而毛細現象越高，位能越高。但毛細現象有附著力或排斥力。同時，液體高度越大，重力位能也越大。

在史丹佛的Robert Finn教授，發現液體的毛細現象在數值計算上有時會有不收歛的現象。兩片玻璃的夾角越小，水面在靠近玻璃角的地方會上升得越高。當夾角小到一個程度時，玻璃角的水面會突然跑到無窮高。Robert Finn 利用數學首先發現並解釋這種現象。這個數學上的發現，強力支持了從奇異的毛細面現象來解釋樹的毛細孔也是這樣在發揮作用。事實上，經由顯微照片顯示，樹的毛細孔內壁的確存在很多夾角。

美國特種部隊在使用的瓦斯爐，就是這種毛細現象的原理。不用打氣，把汽油倒進去，就可以生火。而美國的太空總署NASA。在探討和太空人有關的重力場實驗時。NASA裡的太空人，使用一種夾角杯。因為液體裝在夾角杯哩，就會自動上升，太空人可以這樣喝咖啡。

狄朵Dido的「一張牛皮」問題

這是一個希臘的故事：迦太基女王Queen of Carthage狄朵Dido的「一張牛皮」問題。迦太基在北非，說的是公主狄朵Dido逃亡到北非，和北非的原住民要了一張牛皮。並且騙當地原住民，把牛皮切的非常細，做成一個很長的繩子。在山上圍了一塊地，建立了迦太基王國。

在這個問題上，假設ab兩點，怎麼取可以圍到最大的範圍，答案是圓。有一個封閉的曲線在平面上，就是圓。但很難證明。也許你我都可以透過國中數學或和高中數學來證明。在中學時，我們學過圓的設計。如果ac是直經，在圓周上任何一點和a與c分別的連線所形成的夾角都會是90度。

肥皂泡薄膜、極小曲面與均曲率曲面

曲線如何達到最大曲線的曲率，有必要去釐清。我們可以先用直觀的方法來看。同樣的問題，簡單可以用高中數學處理。但是，如果我們有不同的角度來看這個問題，有時可以從中問出更深刻的問題或新的解決問題之道。現在我們先來介紹一下。曲率的理解牽涉到計算。曲率就是，如果一個曲線c上，你取三個點，三個點不要共線，可以決定一個圓。趨近於同一點，還是會得到一個圓，這個圓的半徑倒數就是曲率。不用舉證。

曲面的曲率有很多種概念，其中最重要是「平均曲率」和「高斯曲率」。

紅血球的數學聯想

在第二部分，紅血球的數學聯想又分為三個層次。第一個層次是紅血球與人工液胞vesicles的形狀；第二個層次是液晶生物膜的彈性力學理論與Helfrich-Willmore曲面；第三個層次就是圓球的內面可以連續而光滑地外翻。

紅血球的外型，就像一顆壓扁的柿子。利用紅血球的製作出的模型原理，叫做人工薄膜，目前看起來還蠻成功的。生病的鐮刀型紅血球看起來就像一把鐮刀。為什麼它會變成這樣，還是一個在力學與數學的層面上還不是很清楚。 目前力學的理論較成功的是應用在人工生物膜的情形，在實驗室，這個力學理論成功描述了許多不同形狀的人工生物膜。

數學與通才教育

最後，教授認為學習語言和數學，是求學階段中，最重要的基礎教育。其中，語言包括母語及外語。而數學，也是自然科學的語言。所以很多人都會說學數學要幹嘛？但其實我們每個人都該認知到它的重要性，才能更貼近自然科學的世界。

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 本文整理自：102/11/02下午由林俊吉教授在臺大應力所國際演講廳所主講之「從細胞世界看微分幾何」的演講內容

 延伸閱讀：臺大科學教育發展中心探索基礎科學講座2013年11月2日第四講〈從細胞世界看微分幾何〉全程影音