【大宇宙小故事】19 解析幾何解析
撰文｜葉李華
夢中靈感的例子在科學史上頗為常見，最有名的一樁或許是德國化學家凱庫勒(August Kekule, 1829-1896)夢見一條「銜尾蛇」，醒來之後立刻想到苯分子具有環狀的結構。
這個夢境簡單明瞭，和凱庫勒的科學發現又很契合，因此可信度非常高。
反之，越是複雜的夢境，就越容易被後人穿鑿附會，著名的「笛卡兒之夢」便是最好的例子。
根據笛卡兒的自述，那些夢給了他一柄「解開自然真相的鑰匙」，於是有些作者聲稱解析幾何就是那天晚上誕生的。這種過度簡化的說法和牛頓的「蘋果」有異曲同工之妙，只能當作稗官野史來欣賞。
至於真實情形究竟如何，就讓我們話說從頭吧。
●三個夢
笛卡兒(René Descartes, 1596-1650)生於法國中部的笛卡兒鎮(當然是後來改名的，由此可見法國人多麼崇拜他)。由於自幼體弱多病，他養成賴床的習慣，總是接近中午才起床(其實是在床上研究學問)。諷刺的是，大學畢業兩年後，他雖然沒戒掉這個習慣，仍然順利加入荷蘭的傭兵集團。
根據歷史記載，笛卡兒頂多參加過一場戰役，其餘時間只是跟著部隊到處調防(因為是傭兵，雇主相當多元)。公元1619年11月10日，當時部隊駐紮在德國的紐因堡，身為軍官的笛卡兒獨自一人睡在寢室，一夜之間做了三個耐人尋味的夢。
他曾詳細寫下夢境的內容，雖然原始文件已經失傳，好在第一位替他立傳的作者(Adrien Baillet)間接讀過那份手稿，將三個夢詳實記錄在《笛卡兒的一生》這本書中(濃縮如下)。
第一個夢：笛卡兒在狂風中吃力地走向校園的教堂。
第二個夢：他聽到一聲巨響，以為自己驚醒了，(在夢中)睜眼一看，四周竟然都是火花。
第三個夢：他發現桌上有兩本書，一本是字典，另一本是詩集。他在半睡半醒中開始解夢，認為前者代表科學，後者代表智慧與哲學。
●內功心法
誰都看得出來，在這些夢境中，根本沒有解析幾何的影子。
那麼「解開自然真相的鑰匙」究竟是指什麼呢？雖然笛卡兒從未明說，但根據史料研判，最可能的答案是「科學方法」！
且說經過多年的摸索與探討，笛卡兒終於在1637年寫成《談方法》一書。這本書的全名很長：《談談進行正確推理及求索科學真相的方法》，充分透露了作者的雄心壯志。
在笛卡兒心目中，這本《談方法》乃是萬能的內功心法，任何人只要潛心修練，就能達到一法通、萬法通的境界，從此以後，無論遇到任何(自然)科學難題，只要依法施為，皆能迎刃而解。
內功心法通常都言簡意賅，《談方法》當然不例外。不過為了示範它的實際應用，笛卡兒在不到八十頁的本文後面加上三個附錄──每個附錄都是一本完整的著作，而且篇幅都超過本文，他卻一點也不擔心喧賓奪主。
這三個附錄依序是《光學》、《氣象》以及《幾何學》，其中附錄三正是解析幾何的發源地。笛卡兒特別強調「吾道一以貫之」，換句話說，這些多元的成果都是他用《談方法》當工具所製造的產品。
看到這裡，大家應該對《談方法》的內容感到有點好奇了，沒問題，主角立刻登場。
1.無論任何事物，只要我仍有一絲存疑，就不可信以為真。換言之，要極力避免驟下結論或先入為主；除非能夠排除一切疑慮，絕不輕易做出判斷。
2.每當碰到難題，盡可能將它分解成許多細節，以利於為每個細節找到滿意的解答。
3.進行思考時，要從最容易瞭解的部分切入，然後逐步升級。面對沒有先後關係的事物，也要設法定出一個順序。
4.對每個環節都要進行最完整最徹底的檢查，確保沒有任何疏漏。
上述四條「口訣」出自《談方法》第二章，公認是該書最精華的部分。至於大家耳熟能詳的「我思故我在」，最早的出處也是這本書(第四章)。由於《談方法》全書以法文寫成，笛卡兒後來又在另一本著作《哲學原理》中，用當時的學術語言拉丁文將這句話重寫一遍，成為如今流傳最廣的版本(Cogito ergo sum)。
●人算不如天算
就現代觀點而言，無論是在純數學或應用數學的領域，解析幾何的重要性皆無庸贅言。但如果你將笛卡兒的《幾何學》從頭到尾翻閱一遍，會覺得作者忠實繼承了古希臘的傳統，並未探討解析幾何的任何應用。
千萬別以為笛卡兒真的效法古希臘學者，純粹是為研究而研究，為發明而發明。我們剛才已經提到，笛卡兒的動機與目的非常明確──用以示範《談方法》是多麼強而有力的工具；唯有使用這門內功心法，才能發展出讓幾何與代數水乳交融的解析幾何。
不過，這只是笛卡兒一廂情願的想像……
就在《幾何學》即將出版之際，笛卡兒聽說某位法國業餘數學家並未使用這套心法，竟然也誤打誤撞，摸索出類似的幾何學！
這豈不代表《談方法》並沒有作者聲稱的那麼偉大，並不是什麼仙丹靈藥，頂多只是有益健康的補品罷了。
笛卡兒雖然是一位偉大的學者，享有「近代哲學之父」甚至「近代數學之父」的美譽，這些成就卻並非心胸寬大或人格高尚的保證。在獲悉雙胞案之後，他絲毫不顧同胞之情，對那位業餘數學家展開口誅筆伐，經過多年的努力，終於如願以償，在一般人心目中爭得「解析幾何唯一發明人」的印象。
至於那位業餘數學家，儘管遭到笛卡兒打壓，終究還是名留青史(你應該聽過「費馬最後定理」吧)。但他的生平事蹟太豐富，最後這點篇幅寫不下，只好另找機會再談。
註一：如果採用廣義的標準，古希臘數學家已經懂得使用座標。例如在《圓錐曲線》這本經典名著中，阿氏(Apollonius of Perga)每當畫出橢圓、拋物線或雙曲線之後，幾乎都會在其上畫一些類似座標軸的輔助線──必須強調的是，在這些輔助線中，只有一條可以算是主要的座標軸，其餘皆處於次要地位。
然而，我們不能說古希臘數學家已經發展出原始的解析幾何。因為在解析幾何中，座標應該是先天的，並非隨著解題過程逐漸產生。正如傳統的舞台劇，必須先搭好舞台，演員才能登台表演。
註二：大家都知道解析幾何又名座標幾何，但或許很少有人想到「座標幾何」是理所當然的名稱，「解析幾何」則有點不知所云(偏偏後者一直佔上風)。
這不能怪笛卡兒，也不能怪費馬。雖然他們兩位是解析幾何的發明人，這個古怪的名稱卻不干他們的事。
根據現有的資料，這個名稱最早出現於法國數學家洛氏(Michel Rolle)一篇論文的題目，時間是1709年。至於洛氏為何稱之為「解析幾何」，目前仍舊眾說紛紜。
註三：笛卡兒與費馬的解析幾何內容大同小異，主要差異在於笛卡兒從曲線出發，尋找對應的方程式，費馬的順序則剛好相反。
另一方面，兩人都繼承了古希臘的傳統，僅使用一個座標軸，另一個軸則扮演輔助的角色，不一定明顯畫出來──即使畫出來，兩個軸也不一定垂直。換句話說，他們兩人從來沒有真正用過平面直角座標。
至於「兩軸平等」究竟是誰首倡的，數學史家目前還沒有定論。可以肯定的是，在牛頓的手稿裡，已經出現兩軸幾乎平等的直角座標。
註四：平面解析幾何的兩個座標軸，中文稱為「橫座標」與「縱座標」，完全可以顧名思義。但是在西文中，卻無法看出兩者有任何親屬關係(以英文為例，前者為abscissa, 後者為ordinate)。追根究柢，正是因為在笛卡兒與費馬心目中，這兩個座標軸的地位並不相等。
既然談到這裡，順便將幾個名詞的字源整理如下：
座標(coordinate)：英文原意顯然與「縱座標」有關。
橫座標(abscissa)：源自阿氏《圓錐曲線》的希臘文原本。
縱座標(ordinate)：源自《圓錐曲線》的拉丁文譯本(ordinatim applicata這個詞)。
Z座標(applicate)：同上(中文沒有正式譯名，「豎座標」是不錯的選擇)。
象限(quadrant)：英文源自「四」的字首(quad-)，中文源自《易經》的「四象」。
卦限(octant)：英文源自「八」的字首(oct-)，中文源自《易經》的「八卦」。
