【大宇宙小故事】15 誰發明了足球
撰文｜葉李華
阿基米德(Archimedes, 287?-212 BC)這個名字非常響亮，所以你很容易從網路上查到他是古希臘的數學家、物理學家、天文學家、發明家、工程師，而且還是有史以來最偉大的三位數學家之一。
不過，有一件事情，你大概不容易查到，那就是連足球都是阿基米德發明的。
看到這裡，一定有人會說：不對吧！別急，我說的不是足球這種運動，而是足球的形狀是阿基米德發明的。
或許又有人會說，足球當然是球形，可是球形還需要誰來發明嗎？
好吧，我的意思是「足球表面的紋路」是阿基米德發明的！不過，為了避免再有誤會，我們還是先找個足球來，看看它的紋路到底是什麼樣子。
首先，請仔細觀察這些紋路是由哪幾種多邊形組成的。嗯，是不是只有五邊形和六邊形兩種？更精確地說，它們是正五邊形和正六邊形。
接著請大家數數看，足球表面到底有幾個五邊形，又有幾個六邊形？
答案是：五邊形共有十二個，六邊形共有二十個。換句話說，一個足球是由三十二片皮革縫製而成，所以嚴格說來它根本不是球形，而是一個三十二面體。
接著我們要來研究一下，這個三十二面體的表面是否有什麼規律。
要回答這個問題，最好的辦法就是抱著足球多轉幾圈，然後你就會發現，這些五邊形和六邊形的排列非常對稱，無論你把足球怎麼轉，看起來都沒有任何差別。
所以我們說足球表面是個規則的多面體，這個多面體的正式名稱叫「截角二十面體」，而這個形體確確實實是阿基米德發明的。
至於阿基米德怎麼會發明這樣的形體，背後當然有一個引人入勝的故事。
且說早在阿基米德出生之前，古希臘早就累積了許多數學成就。比方說，大家都知道柏拉圖是著名的哲學家，可是很少有人知道，柏拉圖的數學程度也很好。他曾經在自己的著作中，提到正多面體總共有五種。所以直到現在，數學家仍將這五種正多面體統稱為「柏拉圖多面體」。
在此必須強調一下，柏拉圖多面體並不是柏拉圖發明的，只能算是由他做了總整理。這種情形在科學史上屢見不鮮，例如《(幾何)原本》的內容大多是前人的成果，但由於作者歐幾里得整理得太好了，所以現在我們都有個錯覺，覺得歐幾里得就是幾何學的始祖。
順帶一提，《原本》最後一卷就是柏拉圖多面體的專章，其中嚴格證明了絕對沒有第六種正多面體。
有人以為歐幾里得就是阿基米德，那是大錯特錯！翻遍歷史，他們兩人唯一的關係，就是後者在著作中曾經提到前者，這便說明了阿基米德是後生晚輩。
回到正題，我們來看看柏拉圖多面體到底有哪五種。
答案可以一口氣說完：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
其中正六面體當然最簡單，它就是我們俗稱的正方體。正四面體雖然看起來有點像金字塔，實際上並不相同。因為金字塔底下的那一面是正方形，正四面體底下則是正三角形，和旁邊的三面完全一樣。
看到這裡，你應該能體會正多面體的意義了，那就是必須每一面都完全一樣──不但形狀一樣，彼此之間的相對位置也得一律相同。
反之，剛才提到的金字塔就不是正多面體，因為它底下的那一面是正方形，旁邊的四個面卻是三角形。
所以請記住，正多面體只有五種，不包括金字塔在內。這五種正多面體彼此之間有很多有趣的關係，比方說，正六面體表面有八個角，而正八面體表面有六個角，可以說彼此剛好相反。
同理，正十二面體和正二十面體也有類似的關係；正十二面體有二十個角，而正二十面體有十二個角。
談到這裡，我們就可以來解釋截角二十面體的意義了。顧名思義，「截角二十面體」就是把正二十面體的每個角都切掉，不過當然不是隨便切，而是要遵循一定的規律，然後就會得到標準的足球表面紋路。或許我們可以打個比方，正二十面體有如粗胚，而截角過程就是把粗胚打磨成藝術品。
現在如果我再問你一次，足球表面到底是由幾片皮組成的，你應該立刻就答得出來。那就是原來的二十面，加上截角之後產生的十二面。(為什麼是十二面？很簡單，因為原來有十二個角。)所以，加起來總共有三十二個面。
我們剛才已經討論過，這三十二面並非通通相同，有些是五邊形，有些是六邊形。那是因為原來的二十面體本來是由三角形組成的，可是在截角之後，三角形通通變成了六邊形，而新產生的十二個面，則個個都是五邊形。
接著讓我們來探討阿基米德發明這個形體的心路歷程。不過由於史料有限，下面的敘述只有八成的根據，另外兩成則是合情合理的推測。
阿基米德雖然是古代最偉大的數學家，可惜生得太遲，雖然他很想成為正多面體的發明人，不料翻開書本一看，哎呀，柏拉圖的名字早就和正多面體連在一起了。即使自己再有能耐，也不可能讓時光倒流，讓歷史改寫吧。
阿基米德不愧是阿基米德，他靈機一動，想到何不把柏拉圖的正多面體錦上添花一番，於是他就從正二十面體，創造出截角二十面體。由於在此之前，從來沒有人創造出這個形狀，阿基米德順理成章成了截角二十面體的發明人。
既然想到錦上添花這個妙招，阿基米德一不做二不休，索性想盡各種辦法來改造五種柏拉圖多面體，收穫非常豐富。根據歷史記載，他前前後後總共發明了十三種這樣的多面體。所以說，如果你無意中看到「阿基米德多面體」或是「阿基米德立體」這樣的名詞，千萬不要以為就是指足球的形狀，因為那是十三種多面體的統稱。
這個小故事給我們一個很好的啟示：不管先聖先賢已經有多少發明、多少發現、多少成就，只要你肯多動腦，一定能夠站在他們的肩膀上，設法更上一層樓。
講完這個故事，我們可以再補充一點科學知識。在化學領域中，截角二十面體也有一席之地。話說一九八零年代，化學家用碳原子合成了一種分子，在仔細分析之後，赫然發現它的結構就是不折不扣的截角二十面體。
這種分子的學名很古怪(Buckminsterfullerene)，但有個可愛的暱稱叫足球烯。每個足球烯由六十個碳原子組成，那是因為截角二十面體表面共有六十個角，每個碳原子剛好佔據一個，所以不多不少，剛好每個分子都有六十個碳原子，除此之外沒有任何雜質，因此它的分子式為C60。
足球烯本身也有些小故事，有機會再慢慢說吧。
