【寫作班發表】我所經驗的建構式數學
■ 今年二月第二期科學寫作班落幕，我們精選了一些學員作品，首波登場的是數學組胡智慧老師的文章。她根據本身在國小教學多年的經驗，寫下自己的看法。「我所經驗的建構式數學」提出近年來數學教育方針改變的觀察，「誰的尺最準確」則是用極為淺顯易懂的筆調，向孩子們解釋「尺度」這個人為概念的意義。
撰文 ∣ 胡智慧（桃園縣新榮國小教師）
強調師生互動、表達自我、回歸基礎的「建構式數學」，在小學全面實施後，成了砲火中心，起因是許多人發現孩子的計算能力退步了。建構式教學究竟怎麼教？學生真的越學越笨？
我曾躬逢其盛，參與了這場數學教育的大改革。老實說，這種教學模式對老師的確是一種很大的震撼。過去大部分老師的數學教學模式多是依據傳統教學方法，注重學生數學技巧之熟練，只重數學計算能力，所以學生只知道要怎麼做，學數學是用死背的方式、機械式的吸收；而建構式教學，不但要學生知道該怎麼做，還要知道為什麼，並應用於實際生活上，這是最明顯的不同。
很多報導說建構式數學把簡單的事情搞難了，把小孩教笨了。舉例來講，3×8=24，從前我們是背九九乘法表寫出答案，而建構式數學要求小孩3=3，3+3=6，3+3+3=……一直要加八次，寫八個式子。有的小孩反映「老師規定一定要這樣寫」。
這的確是曾發生於教學現場的真實案例，我曾和同事爭辯，有必要按照課本中所寫的來作為評分的依據？真的有很多老師堅持要求孩子一定要這樣寫。這種以簡化繁的模式真的讓我困擾許久。直到我接觸了更多的課程，觀摩了更多教學演示之後，我有了更新的領悟。
同時參與新舊版本教科書編纂的黃敏晃說：「計算本身不重要，重要的是為什麼要這樣計算？數學教育的目的不在計算的熟練，而是思考訓練。」
傳統的數學教室，老師是主角，在台上賣力解釋，賣力解題，為了讓學生專心傾聽老師的講述，教室要盡量保持安靜，通常學校評斷老師優不優秀，學生上課秩序好不好是很大的關鍵。但建構式教學卻希望把教室還給學生，讓學生成為教室的主人，可以盡情的發表想法，互相交流不同的見解，甚至走出教室到任何場所均可。
以前的教學多是照本宣科，現在則是鼓勵學生說出思考過程。舊課本很容易教，加減乘除四則運算、小數、分數都分別設計成一個單元，但學生往往學了新的、丟了舊的。以前「在課堂上告訴學生圓周是直徑的三‧一四倍，說多少次學生還是很難理解」，在五年級的數學課中，我讓學生分組自己測量飛盤、呼拉圈、操場等不同大小的圓形，自己去發現圓周和直徑的關係，多年後這群孩子們告訴我：他們ㄧ直記得那次在艷陽下一群人七手八腳的拉著繩子在操場中量直徑與圓周關係的經驗。教到長度、面積、體積、容積也是由實際操作中培養學生具體的經驗，教室的地板、黑板、魚缸、紙箱、書櫃……無所不量，雖然教學費時費力，但是孩子真的比較喜歡，也真的比較有效。
小白板運用在分組教學讓我更用心去聽孩子的想法，也強迫其他學生去聽、去了解別人不同的解法，雖然因為這樣會比照本宣科教所教的範例還少，但是孩子因分組活動，學會了分工合作，也有了表達的機會及傾聽別人意見的學習，上課也真的比較吵，但是大部分孩子是清醒的。
經歷過這場轟轟烈烈的教育改革後，其實收穫最大的是身為教師的我，俗話說：「寒天飲水，冷暖自知」，唯有身歷其中，才解此中味！
?
誰的尺最準確？
小學二年級的數學課本中要我們量出教室黑板的長，同學們七嘴八舌的說：「黑板這麼長，哪有這麼長的尺？」每個學生看著自己鉛筆盒中那隻短短１５公分的尺嘆息著！老師突然說黑板的長是４。
「４是什麼意思呢？」晶晶問道。
「４個伸長的手臂長。」老師回答。
亞森這個手腳俐落的男生立刻走到黑板右端，想要檢查ㄧ次老師說的是否正確，他伸長右手臂對齊黑板右端，再伸出左手臂往黑板左邊延伸想要量黑板的長度，量了一次後，不知如何是好，他的好朋友東翰跑出來幫他在左手手指指端留下記號，亞森才往黑板左邊繼續移動量第二個手臂長，東翰再幫他做第二次記號。全班這時目不轉睛的盯著他們，想看看結果是多少？
「７個手臂長！」亞森大叫著。
身高比較高壯的碩賢衝出來說他也想量一量。
他伸長右手臂對齊黑板右端，再伸出左手臂往黑板左邊延伸，量了一次後，自己用左手手指按壓做上記號，接著身體往黑板左邊繼續移動，用右手手指壓住左手的記號量第二個手臂長。晶晶說：「這樣一個人就可以量出黑板長了。」
「６個手臂長！」碩賢大喊著。
這時底下一群小朋友躍躍欲試，大家都想親自量ㄧ量，老師決定讓大家都來試一試。
全班量完後，老師問大家答案，同學說：「答案有６個、７個、８個，大家不相同。」
老師說：「很久以前，人們是以自己身體的部位來進行測量，他們會用手臂、手掌、手指、跨一腳步的長等方式來測量物長。那到底該用誰的手臂、誰的手掌或誰的腳步長呢？因為每個人量出來的都不相同，ㄧ定會造成困擾吧！所以聰明的人類就決定了：測量的單位必須要標準化。現在世界通行的是公制系統，測量長度的單位是公里、公尺和公分。」
噹！噹！噹！下課鐘聲響了，「下課時量量看教室有多長吧！」老師說。
晶晶用跨步的方式數了數，「１２！」她雀躍地說著。
碩賢用ㄧ般步行的方式數著，「１５！」他向同組的同學大喊。
其餘的同學紛紛加入測量的行列，答案也是五花八門，各不相同。下課後的教室還真是熱鬧呢！
一旁觀察的老師拿出１公尺的布尺分給各組的小朋友，請小朋友再量一次。
「用布尺量出的結果是多少？」老師問。
「９！」小朋友異口同聲的說。
我們終於有了統一的答案了。
?
作者簡介
胡智慧是桃園縣新榮國小資深教師，因為想要學習論文寫作而報名高瞻科學寫作班，由張海潮教授指導。作品靈感大多來自課堂上以及校園內發生的小故事。興趣是游泳與古典音樂，喜歡巴哈和莫札特。
?
責任編輯：MissZoe
http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010305728
援引書中一段：
「兩位天文學家在南方要塞卡卡頌碰頭，從那裡返回巴黎，將他們的資料呈給一個國際委員會，這是世界上第一次的國際科學會議。他們努力的成果，則以純鉑製成的一根標準公尺棒加以崇奉。這是凱旋的一刻：證明在社會與政治動盪之際，科學仍能做出某種恆存之物。法國的新統治者收下他們努力工作的果實，並做出一項預言。『征服者來來去去，』拿破崙如此宣言：『但此一成就將永垂不朽。』」
公制是個奇妙的人類發明，以地球子午線的1分弧長做為長度的基本單位，稱為1milliare。（但怎麼確定地球的總長呢...既然不能直接量，就要從日影來推敲，又回到數學問題）為了保存取回的精確長度，還得用不容易熱漲冷縮的金屬予以標定。真是超辛苦的....
公制的推行一方面是來自於法國人意欲以其理性規範世界的野心，一方面也是來自於人們溝通的需要。不過我很高興最後是公制征服了大多數的世界，因為十進位畢竟還是比較簡單。XD
（這是我跟課時學到的！供大家參考）
上週「科學素養、科學課程和評量研討會」中 (http://140.122.147.25/sw/ )
我說了一句話：「從近代的教育觀點而言，台灣教師的平均專業覺知水平實在是不及格的。」林陳涌教授當場認為我說話太超過。我承認自己有點語不驚人死不休，而且有一篙子打翻整條船之嫌，對大多數老師們未必公平。
概念建構是個心智過程，每個人學習的情況不同，如果不是小班教學，難度甚高。胡老師也提到，許多老師堅持要求學生在紙筆操作上依從以簡化繁的僵化規定。老師關心學生心智上的成長過程與學習發展需要高度的覺知(awareness)。老師適不適任，還需要別人指正，就表示專業覺知水平不及格。
作中學(learning by doing)當然是一種有效的學習方式，因為經驗是無可取代的學習方法，但是並不是唯一的學習方式。閱讀、口述、習作、討論、遊戲、表演、……都可以是好方法，依學習目標，老師可以選擇活用。
以學習者為中心，學習者的心智能力發展為目標，重視個體差異多元智力的教育，或是60%的老師能說出自己的教育理念也好，我認為台灣的師資培育還有很長的路要走。
在測量上有兩個重要概念：
單位(unit)及標準化(standardization)。
豬肉一斤、香油一勺、絹帛三尺(或三肘)、一年365天，這是單位。公制是定於一尊，可能社會意義不比科學意義少。拿破崙的話多少仍有統治者的意識。我也聽說法國人曾經對德法兩國的(火)車同軌頗有意見，仗打多了也嚇怕了。
標準化就科學而言，又自有其基本的重要性。當各種單位落實在原子構成的世界中時，2克的氫氣和18克(或1升)的水，兩者含有相同數目的分子。氫分子在特定溫度時的震動頻率、動能、…這些測量如果不依照粒子的數目作一些標準化規範，就好像今天兩個蘋果比上五個橘子，明天五個蘋果比上兩個橘子，就會天下大亂，科學也玩不下去了。
敝人一直致力於以建構式方式教女兒數學, 計算雖不快, 但對於原理理解甚為有利!
----------------------------------------
飽受誤解的建構式數學
http://dunst-kang.blogspot.com/2010/12/blog-post.html
本人以建構式數學教學20餘年，它著實最去繁為簡，超高效能，由慢而快，後發先至，基礎數學有史以來最佳教學法，也呼應新近教育思潮，唯推行初期規劃不善，人謀不臧所至，當年的建構只是皮毛，只得其形，故排抗如潮，教育政策如白海豚，逢反必改，了無寧日。有此了晤者自是別出樞機，不為波臣！
"建構式數學要求小孩3=3，3+3=6，3+3+3=……一直要加八次，寫八個式子"
不知道胡老師知不知道這樣做背後的原因? 建構式數學為什麼會有這樣的要求? 這樣會帶來何種"思考訓練"? 也就是說,這樣做的目標,好處是什麼? 如果說不出來,或者說出來的是"思考過程"之類的,那麼既然只重過程,不問目標,就無法評鑑教學是否有效了.
事實上,不問目標,這樣做就沒有意義. 比如說,3*9該怎麼執行? 以上的寫九次嗎? 如果您回答"是",那已經證明你不懂數學了.
你如果懂數學,就會說 8+3=3*9.
要加八次的原因,是因為那是建構自然數的方法,用的是數學歸納法. 數學歸納法的基礎,是"有下一個", the well-ordering principle. 其目標是讓你知道"下一個"長什麼樣子. 而下一個的樣子,必須建構在"前一個"的樣子上.
更重要的是,"加"和"乘",是不同的運算. 硬說 3+...+3 = 3*8,是忽視了"乘"在運算中獨立的地位.
以上的已經足以證明建構式數學弊大於利了.
筆誤更正一下:
8+3=3*9 應該是 3*8+3=3*9
順便說,這是一個有益的答案嗎? 很明顯這個回答是"思考"的結果,但是它解決了問題(3*9)嗎? 很顯然的,僅僅思考並不能提供答案解決問題.
建構式數學有建構式數學的樂趣，傳統數學有傳統數學的樂趣，如樓上說的自己用喜歡的方式教自己的小孩那當然沒有問題，硬要改變所有人那就變成一種災難，就好似某總統強迫每個人要去看他喜歡的電影一樣。3+8次 真的是蠢爆了，可能是怕了台灣常常在國際數學競賽得獎，若干年後的道歉跟下台 根本一點用都沒有，影響的是別人的一輩子。