【我的數學夢】尋找狐狸的足跡

■ 「有些事現在不做，以後也不會做了！」這是一個法律系學生熱血前進數學的故事，在他眼中，法律與數學並沒有那麼的不同。

撰文 ∣ 戴佳原

　　國一時我一直不明白為什麼x+2=3會得到x=1，而不是x=x這個不言自明的答案。更不明白為什麼當我這樣回答，考試總是零分。我的疑惑，那時沒有人能解答。直到有一次家政老師看我在算數學，她和許多人一樣，也不懂為什麼我不會那麼簡單的問題，但不一樣的是，她很大方地嘲笑我，而我哭了，但命運很奇妙，我從此就會了。

　　後來，我讀了些數學哲學，知道人類從數覺（如一隻羊）到數（如抽象的1），從結繩到符號，必須經歷幾萬年的演化。才知道當時在我的生命中也經歷了演化，雖然只有幾個月，但已讓我如此強烈地意識到數學的存在。

　　高中，不知是否因為經歷某種佛洛依德式的不滿足，我變得擅長操弄符號，加上一點耐心，成為了解題能手。某次高二數學課，老師透過矩陣求解一般線性方程組，我看著黑板上的x，y和z，突然想起國中懵懂的自己，再想起現在卻能處理那麼多未知數，不禁激動難以自已。

　　人生許多選擇，探尋到最後，驀然回首，都是這些回憶碎片。

　　我曾申請台大數學系，但感謝神，我落榜了。原本父母希望我去念森林系，因為他們認為我是個太「條直」的孩子，比較適合去跟樹在一起。不過最後我透過指考進入了台大法律系。不知為何，我對數學念念不忘，於是大二時申請了雙主修數學系，因此我常自嘲為「法數系」學生。有些法律系同學認為法律跟數學很不「搭」，甚至認為既然都讀法律，就不再需要數學或科學。然而，我認為人類事務極其複雜多元，法學在知識面上不可避免地要與哲學、政治學、經濟學、社會學，甚至自然科學「先衝突後整合」，才能妥善處理各種紛爭。這種體認不但是我選擇法律系的初衷，也促使我思考如何在近代學科專業分化的趨勢中，提醒自己保持寬闊開放的學術心胸。為此，當時年輕狂妄的我，琅琅上口「法律數學本一家」，理所當然引起不少質疑。

　　為了證明自己是對的，我研讀一些「學術史」方面的書籍，了解數學（或數學哲學）在啟蒙時代後引起方法論的風潮，例如Bentham相信功利主義，想建立「快樂的微積分」來分析如何極大化社會福利；美國憲法具有數學公理化演繹邏輯的風格；在自然法與純粹法學的概念中也可看到數學的影子。直到現在，「非線性」、「蝴蝶吸子」、「混沌」和「拓樸」等數學術語也納入刑法學、哲學和歷史學關於因果關係的討論。當然，以上例子無法充分釐清「法律數學本一家」中「本一家」一語所具備的歧義性，而學科術語跨界混用也值得省思，但一路走來，我始終相信，積極開放心胸會讓學術生命將更為豐富。

並不孤獨

　　讀過歷史上許多數學家的學思經歷之後，我發現兼具法律與數學訓練的人其實不少！例如笛卡兒（René Descartes）是法學博士，是律師；費馬（Pierre de Fermat）也是律師；萊布尼茲（Gottfried Leibniz）大學主修法學；惠更斯（Christiaan Huygens）大學主修法律與數學；魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）承父命在大學主修法律與財政，但為了數學，據說他寧可酗酒，向他父親抗議。他們出入於法律與數學之間，讓我知道自己並不孤獨。

　　但到底是什麼吸引我的這些「法數系」學長們如此熱愛數學，甚至奉獻一生？從真善美的角度，我認為，數學「公理化演繹邏輯」的方法論能產生其他學科無法擁有的「確定性」。為此，數學思考近似接觸真理，數學證明則等同發現真理。另外，數學總散發著一種簡潔純粹的美感，例如我最喜歡的Euler公式： e^iπ + 1 = 0，一個簡單等式結合了加法、乘法和指數律等常見運算，以及Euler數e、虛數i、圓周率 、乘法單位元素1和加法單位元素0等宇宙中最重要的幾個常數。

　　然而，數學很美，數學也很難，抽象的符號系統是數學「冷峻」的一面，也是不少人「害怕」數學的源由。不過，只要回想幾世紀前的數學家們以藝術看待數學，並認為數學能發現預測宇宙規律，榮耀創造萬物的上帝，或許「冷峻」就只是真理之門前的大理石雕像，要人們心懷敬虔而謙遜。至於善，數學在所不問，所以數學「可能無益，但絕對無害」。拿著紙筆，讓心靈依循著直覺前進，透過邏輯一步步整理足跡，直至真理之門，多麼自由與和平！

　　雙主修數學系後，我得以比較中學數學與高等數學的異同。解題是數學的核心，中學數學著重計算，題意、條件與答案明確，只要看清一兩個「眉角」加上些許耐心即可駕輕就熟。高等數學則著重證明，透過各種數學結構的細膩分析來「一網打盡」相關問題。例如為了處理極值問題，中學數學發展出算幾不等式及柯西不等式，但只能處理一小類問題。微分學的極值檢定法，則幾乎能處理各種極值問題。不過事實上，不論在中學或大學，類推比較、以簡御繁及分類化約一直是我們處理數學問題的基本思維，只是高等數學需要更細膩的觀察、更神妙的巧思以及更繁複的運算。以類推比較為例，Fourier級數中的Parseval等式是中學畢式定理的類推，然而，類推的過程絕對是數學家們充滿挫折的奮鬥史。

　　為什麼高等數學需要更多奮鬥？原因在於「面對無窮」並「馴服無窮」是高等數學永恆的任務。以積分學為例，為了計算曲形面績（如橢圓面積），由於線形。面積（如矩形面積）計算容易，透過以簡御繁的思維，我們會用數個線形面積的總和去「逼近」曲形面積，再論證當線形越來越多，則所有線形面積的總和會「等於」曲形面積，而非逼近。以上論證的關鍵處是「無窮過程」，亦即「從有窮到無窮的飛躍」如何成立！數學史告訴我們，從古希臘時代就有「無窮的恐懼」，而近現代，無窮級數的收斂性是分析學的基本問題，無窮的分類則豐富了拓樸學，許多由無窮產生的悖論一直是惱人而重要的數學問題，直到兩千多年後，本世紀六〇年代的非標準分析學才真正馴服無窮。

我的數學思想史

　　猶記得那天早晨天氣晴朗，在新數101教室，林紹雄老師證明高等微積分的Heine-Borel定理。當證明寫完後，我感動到不可自禁地驚呼：「人類怎麼想得出來！」而且，老師說數學界花了三十年才發現並證明這個定理。那時，我告訴自己，一定要發掘這三十年來數學家們探索的過程，因為人類挑戰了看似不可能的事物。為此，我開始研讀數學史，先反思微積分學的發展，發現教科書的內容次序：「極限→連續→微分→積分」，竟然與數學史「積分→微分→連續→極限」的發展背道而行！我意識到原來文章書籍的「邏輯理路」（the way of logic）與數學思考的「探索理路」（the way of discovery）可以如此不同。當然，邏輯理路直接明快，像食譜一樣，學習者一步步照做即可，但缺點是常常覺得「天外飛來一筆」。至於探索理路，葛兆光先生的《中國思想史》給我不少指引，他認為在思想史研究中，展現知識積累與發展的「加法」固然重要，然而，找回思想被刪減隱沒的「減法」更有啟發。阿貝爾（Niels Henrik Abel）曾形容高斯（Carl Friedrich Gauss）像一隻狡猾的狐狸，在沙漠上一面行走，一面用尾巴抹掉足跡，探索理路就是「重現」被抹去的足跡，這就是我的數學夢，我的「數學思想史」！

　　於是，我決定報考數學研究所，不少人關心我，提醒法律系出路較為寬廣。不過，或許受到影片《練習曲》中那句話的鼓舞：「有些事現在不做，以後也不會做了！」我相信，走上數學之路的決斷，我不會後悔。

　　就讀數學研究所那兩年，我不再擁有法律與數學的「雙重身份」，我必須完全獻身在「典範」中。我的碩士論文以生態學上的反應擴散方程為主題，她是一份不錯的文獻回顧，因為我盡可能以探索理路的方式呈現，雖然我曾努力，想要發現屬於自己的命題與證明。在碩士階段，我深刻體會到「研讀數學」跟「研究數學」是兩回事，以及研究數學思想史之前，必須先精通數學。

　　夢想之路上有時花朵繽紛，有時荊棘坎坷，但我的神，我的數學夢引領我，即使迷霧重重，我仍能大步前行。如今我在服兵役，退伍後即將去柏林自由大學參加數學博士班面試。未來充滿可能性，而我還年輕！

作者簡介

戴佳原，台灣大學法律系法學組92級，台灣大學數學研究所畢。

他的自述：「去年新訓，常常得在嘉義的美麗夕照下，全副武裝持槍肅站重覆背頌國軍準則，而那時，我的心中是滿滿地渴望留學德國、鐵馬環球與當好爸爸。」

責任編輯：MissZoe

本文為CASE專題「我的數學夢」連載第三篇。