<摺紙與數學交融的故事> & <摺出未來>

<摺紙與數學交融的故事>

第一本將摺紙與數學結合的書籍,是 1893 年由印度數學教師桑達拉·饒出版的《摺紙幾何學》,他以簡單的紙張摺疊動作出發,開拓了與歐幾里得思路不同的平面幾何學進路。本講次介紹摺紙與數學交融的有趣發展歷史。

講師:李國偉|中央研究院數學研究所兼任研究員

在數學史上,不乏以摺紙體現數學原理的例子。巴斯卡 (Blaise Pascal) 就曾經以類似摺紙的方式,展示三角形內角和等於兩個直角,莫比烏斯 (August Ferdinand Möbius) 也曾經以摺紙為例,說明「面」的變化。不過數學史佳認為,使用摺紙進行操作性幾何展演的開山祖師,當數赫曼・維納 (Hermann Wiener) 以及桑達拉・饒 (Sundara Row) ,他們兩位在十九世紀末期,分別在西方與東方發揚摺紙的數學應用。

1870 年代的德國數學界,興起了用石膏製作數學模型視覺教具的風潮,赫曼・維納的數學家老爸,就曾經製作過各種數學曲面的石膏模型,在倫敦、慕尼黑、芝加哥等城市展覽。從小耳濡目染的維納也開始製作數學模型,不過他用的素材是紙條,他曾經示範如何在沒有尺規輔助下,光靠添加與黏貼紙條,就製作出五個柏拉圖立體。維納的摺法需要手工技巧調整,並不像現代摺紙那樣只靠摺痕來折疊;此外他雖然是受到父親啟迪而動手製作模型,卻主張不使用圖像,而是要徹底依據公理法來發展幾何學。

不過第一本正式將摺紙與數學結合的書籍,卻是在 1893 年,由印度數學教師桑達拉・饒出版的《摺紙幾何學》,其內容豐富完整,遠超過摺紙童玩的程度,是一本嚴謹正經的數學著作。饒撰寫這本書的動機,源自於德國幼稚園之父福祿貝爾 (Friedrich Fröbel) ,以教具與作業教育幼兒的設計;至於選擇摺紙來處理平面圖形的想法,則是源自於另一位同樣叫做饒 (B. Hanumanta Row) 的印度數學家。對於饒而言,摺紙是一項改良幾何教學很好用的工具。

饒之所以想要改良幾何教學,有其時空背景。十九世紀中葉非歐幾何誕生之後,以湯瑪斯·赫胥黎 (Thomas Henry Huxley) 為首的一批知識份子,主張教育應該著重於探究歸納法,而不是專注於尋求絕對固定的真理,數學教育也應該往這個架構發展,揚棄以歐氏幾何為圭臬的舊傳統。這股幾何教學「改良」的趨勢,受到以笛摩根 (Augustus De Morgan) 為首的數學家強烈反對,他們堅信歐氏幾何的嚴謹邏輯訓練,是教育學子清晰思想的正軌;兼之當時無論是公務人員的考試制度,抑或牛津、劍橋等大學名校的考試,皆依然以歐氏幾何為依歸,非歐幾何教學並未真正打入體制內,僅出版了一本參考用的課綱。

饒撰寫這本《摺紙幾何學》,雖然對於數學實用性的重視甚於純粹邏輯推理,但他以簡單的摺紙動作逐步建構複雜幾何形式的做法,啟發了後人把摺紙動作公理化的想法。摺紙與數學的互動,因而逐漸與組合數學、圖論、甚至演算法等等領域相結合,成為展演複雜數學概念的直覺工具。

 

<摺出未來>

原本是童玩的摺紙,經由日本吉澤章革命性的改良後,成為兼具趣味與美感的藝術品。而摺紙進展到 1990 年代之後,研究者建構出折疊的數學法則,再輔以電腦科學技術,讓摺紙不再侷限於紙張,逐漸在各領域大放異彩。本講次介紹從摺紙出發的各種科技與工藝應用,從中感受摺紙於未來不可限量的可能性。

講師:嚴志弘|嘉義大學應用數學系副教授

數學家丘成桐說過:「我們在對自然界作深入的了解,或是尋找數學問題解答的時候,都會碰到不同的現象和觀念,真和美卻是始終如一的。發現大自然的真和美,是做學問的終極目標。」誠然,我們可以在現代建築的各種曲面設計上,看到數學以美輪美奐的形式展演出來,當代建築大師札哈·哈蒂 (Zaha Hadid) 就是數學系出身,後來成為最偉大的解構主義建築師。即使不講曲面如此前衛的建築外觀,光是用傳統的多面體構造,也能夠呈現出許多直觀的幾何美感。

摺紙也是呈現幾何美感很好的方式之一。紙張既方便又易於取得,隨時隨地都可以發揮創意,可藉由親自操作,手腦並用,實際體會感受數學,因此逐漸成為一種流行的幾何教學方式。「生之世界」與「紙上奇蹟」是台灣近年來所舉辦兩次大型的摺紙藝術展覽,可看到各種令人驚嘆的摺紙藝術品; 2020 年底於國立自然科學博物館舉辦的「玩藝數」教育系列活動,則是以 3D 列印、立體幾何雕塑、鑲嵌摺紙等等主題,引領觀眾探索幾何的樂趣。

摺紙除了數學教學之外,也可以有很多實際應用。比如說航太科技就運用到折疊原理,將太陽能板等等結構先折疊起來,等到載具發射抵達目的位置之後再行展開,發揮其原本的功能;現代建築外觀也開始應用折疊原理,搭配能夠靈活調節入射光亮與空氣流動量的結構,實現更高效能的綠建築設計;甚至有汽車廠商在研發折疊式的露營車,到達開闊地點後可展開形成更寬敞的車體空間,真正實現移動居家的想法。除了這些看得見的宏觀結構以外,折疊原理也有微觀尺度的應用,生醫領域是主要的應用領域,比方說治療血栓用的血管支架,就是先折疊成細管置入血管後再擴張開來;另外像是人工肌肉等等先進醫療應用領域,也有折疊肌肉纖維的相關應用。

我們最常見的折疊應用,自然還是純粹的摺紙藝術呈現,以及將折疊原理應用於服飾或精品的時尚潮流。這些藝術品與時尚品看似風花雪月,然而許多了不起的科技與工藝應用,都是由這些「玩物」逐漸演變而成;今日供人觀賞把玩的設計,十數年後說不定就成為劃時代的發明。摺紙已然跨出了數學教學的領域,成為改善你我生活的利器。

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