【科學史沙龍】〈摺紙與數學交融的故事〉＆〈摺出未來〉

〈摺紙與數學交融的故事〉

第一本將摺紙與數學結合的書籍，是 1893 年由印度數學教師桑達拉·饒出版的《摺紙幾何學》，他以簡單的紙張摺疊動作出發，開拓了與歐幾里得思路不同的平面幾何學進路。本講次介紹摺紙與數學交融的有趣發展歷史。

講師：李國偉｜中央研究院數學研究所兼任研究員

在數學史上，不乏以摺紙體現數學原理的例子。巴斯卡 (Blaise Pascal) 就曾經以類似摺紙的方式，展示三角形內角和等於兩個直角，莫比烏斯 (August Ferdinand Möbius) 也曾經以摺紙為例，說明「面」的變化。不過數學史佳認為，使用摺紙進行操作性幾何展演的開山祖師，當數赫曼・維納 (Hermann Wiener) 以及桑達拉・饒 (Sundara Row) ，他們兩位在十九世紀末期，分別在西方與東方發揚摺紙的數學應用。

1870 年代的德國數學界，興起了用石膏製作數學模型視覺教具的風潮，赫曼・維納的數學家老爸，就曾經製作過各種數學曲面的石膏模型，在倫敦、慕尼黑、芝加哥等城市展覽。從小耳濡目染的維納也開始製作數學模型，不過他用的素材是紙條，他曾經示範如何在沒有尺規輔助下，光靠添加與黏貼紙條，就製作出五個柏拉圖立體。維納的摺法需要手工技巧調整，並不像現代摺紙那樣只靠摺痕來折疊；此外他雖然是受到父親啟迪而動手製作模型，卻主張不使用圖像，而是要徹底依據公理法來發展幾何學。

不過第一本正式將摺紙與數學結合的書籍，卻是在 1893 年，由印度數學教師桑達拉・饒出版的《摺紙幾何學》，其內容豐富完整，遠超過摺紙童玩的程度，是一本嚴謹正經的數學著作。饒撰寫這本書的動機，源自於德國幼稚園之父福祿貝爾 (Friedrich Fröbel) ，以教具與作業教育幼兒的設計；至於選擇摺紙來處理平面圖形的想法，則是源自於另一位同樣叫做饒 (B. Hanumanta Row) 的印度數學家。對於饒而言，摺紙是一項改良幾何教學很好用的工具。

饒之所以想要改良幾何教學，有其時空背景。十九世紀中葉非歐幾何誕生之後，以湯瑪斯·赫胥黎 (Thomas Henry Huxley) 為首的一批知識份子，主張教育應該著重於探究歸納法，而不是專注於尋求絕對固定的真理，數學教育也應該往這個架構發展，揚棄以歐氏幾何為圭臬的舊傳統。這股幾何教學「改良」的趨勢，受到以笛摩根 (Augustus De Morgan) 為首的數學家強烈反對，他們堅信歐氏幾何的嚴謹邏輯訓練，是教育學子清晰思想的正軌；兼之當時無論是公務人員的考試制度，抑或牛津、劍橋等大學名校的考試，皆依然以歐氏幾何為依歸，非歐幾何教學並未真正打入體制內，僅出版了一本參考用的課綱。

饒撰寫這本《摺紙幾何學》，雖然對於數學實用性的重視甚於純粹邏輯推理，但他以簡單的摺紙動作逐步建構複雜幾何形式的做法，啟發了後人把摺紙動作公理化的想法。摺紙與數學的互動，因而逐漸與組合數學、圖論、甚至演算法等等領域相結合，成為展演複雜數學概念的直覺工具。

〈摺出未來〉

原本是童玩的摺紙，經由日本吉澤章革命性的改良後，成為兼具趣味與美感的藝術品。而摺紙進展到 1990 年代之後，研究者建構出折疊的數學法則，再輔以電腦科學技術，讓摺紙不再侷限於紙張，逐漸在各領域大放異彩。本講次介紹從摺紙出發的各種科技與工藝應用，從中感受摺紙於未來不可限量的可能性。

講師：嚴志弘｜嘉義大學應用數學系副教授

數學家丘成桐說過：「我們在對自然界作深入的了解，或是尋找數學問題解答的時候，都會碰到不同的現象和觀念，真和美卻是始終如一的。發現大自然的真和美，是做學問的終極目標。」誠然，我們可以在現代建築的各種曲面設計上，看到數學以美輪美奐的形式展演出來，當代建築大師札哈·哈蒂 (Zaha Hadid) 就是數學系出身，後來成為最偉大的解構主義建築師。即使不講曲面如此前衛的建築外觀，光是用傳統的多面體構造，也能夠呈現出許多直觀的幾何美感。

摺紙也是呈現幾何美感很好的方式之一。紙張既方便又易於取得，隨時隨地都可以發揮創意，可藉由親自操作，手腦並用，實際體會感受數學，因此逐漸成為一種流行的幾何教學方式。「生之世界」與「紙上奇蹟」是台灣近年來所舉辦兩次大型的摺紙藝術展覽，可看到各種令人驚嘆的摺紙藝術品； 2020 年底於國立自然科學博物館舉辦的「玩藝數」教育系列活動，則是以 3D 列印、立體幾何雕塑、鑲嵌摺紙等等主題，引領觀眾探索幾何的樂趣。

摺紙除了數學教學之外，也可以有很多實際應用。比如說航太科技就運用到折疊原理，將太陽能板等等結構先折疊起來，等到載具發射抵達目的位置之後再行展開，發揮其原本的功能；現代建築外觀也開始應用折疊原理，搭配能夠靈活調節入射光亮與空氣流動量的結構，實現更高效能的綠建築設計；甚至有汽車廠商在研發折疊式的露營車，到達開闊地點後可展開形成更寬敞的車體空間，真正實現移動居家的想法。除了這些看得見的宏觀結構以外，折疊原理也有微觀尺度的應用，生醫領域是主要的應用領域，比方說治療血栓用的血管支架，就是先折疊成細管置入血管後再擴張開來；另外像是人工肌肉等等先進醫療應用領域，也有折疊肌肉纖維的相關應用。

我們最常見的折疊應用，自然還是純粹的摺紙藝術呈現，以及將折疊原理應用於服飾或精品的時尚潮流。這些藝術品與時尚品看似風花雪月，然而許多了不起的科技與工藝應用，都是由這些「玩物」逐漸演變而成；今日供人觀賞把玩的設計，十數年後說不定就成為劃時代的發明。摺紙已然跨出了數學教學的領域，成為改善你我生活的利器。