南部加法規則：希格斯粒子、NJL 模型、超流體氦與BCS超導體（上）

■超導體與粒子物理間典範借用的故事一直為人所津津樂道，這次我們就來談談在當初主線歷史外的一個支線任務。

撰文｜蕭維翰

大抵是太多高能物理學家們的辦公室門口仍舊貼著大強子對撞機在 125 GeV 偵測到的漣漪，削弱了筆者對時間的敏感。今日提筆才驚覺那已是 6 年前的事件。我猜關於希格斯粒子的「世俗面向」的來世今生，已經透過各種科普文獻，而廣為讀者所知。筆者同時也估計， BCS 超導體的故事，甚至物理機制，也或多或少在科普講座被宣傳給世人。

相對冷門，但我相信亦有許多科普的平臺曾提及並解釋的是希格斯粒子與超導體在歷史上發展的因緣。這也是不同物理學門間，此處指粒子物理與凝態物理，互相參照、交流想法而迸發進展的經典案例之一。

在本文中，筆者打算稍稍沾這個大標題的邊，來討論一個比較技術性，但也頗為有趣的支線故事：南部加法規則。（Nambu Sum Rule / Nambu Identity）。為了文章的完整性，我在上半部仍舊會使用一點篇幅複習歷史，並在結尾處轉入我想著墨的支線。下半部則集中筆力在加法規則。

讓我們首先將時間推回 1950 年代末，在芝加哥大學的南部陽一郎（なんぶよういちろう）見識到甫問世的 BCS 理論，他隨即意識到這個理論不是完全正確的，至少在電磁場下它不符合規範對稱。

規範對稱性是近代物理中一個很深刻的概念。用日常生活中的白話文來講，就是中學老師所常強調的：「電位差」才有物理意義，而電位的絕對值沒有物理意義。如果規範對稱性被破壞，其中一個不好的結果是，某些「電位」的絕對值變得有意義，這個理論就會出現許多現實上沒有的解。簡言之，身為理論物理學家，我們不會希望寫下規範不對稱的理論。

南部與當時其他注意到這個問題的高手們分別想辦法去修正這個問題。（請參見在 [1] 中的評論。）他們都指出妥善修正後的理論應該要有一個像聲子（phonon）一樣無質量的粒子。這個粒子現在被稱為南部-戈德斯通玻色子（Nambu-Goldstone Boson）。這個粒子的存在是因為超導體的基態（ground state）基本上是一個古柏對（Cooper pair）的凝聚態，使得「費米子數量」這個概念被破壞掉了，用比較抽象的術語來說，粒子數守恆的對稱被自發破壞了。但隨之而來的困惑是，在超導體中我們並沒有看到這些玻色子。在接近的年代，Glashow、Salam 跟 Weinberg 想借用自發對稱性破壞的概念去建構電弱模型（將電磁交互作用與弱交互作用結合的模型）同樣的疑惑一樣困擾著粒子物理學家們——這些無質量的粒子在哪裡？

半個世紀後，在巨人的肩膀上，我們知道因為電磁場（或其他規範場）的存在，希格斯機制（Higgs Mechanism）會吞噬這個南部-戈德斯通粒子並賦予規範場們質量。這些就是現今教科書看到的等離子（plasmon）和 W、Z 玻色子。也因此在業內的人都知道，希格斯機制前面至少還要有五六個名字，因為這點子其實奠基於許多前人的洞見。

到這裡我們可以做一個小結。在沒有規範場（如電磁場）的狀況下，一個量子場論的基態自發對稱性破壞意味在光譜中存在無質量的南部-戈德斯通玻色子。在有規範場的狀況下，希格斯機制會將這個無質量粒子「轉化為」那些規範玻色子（像光子與 W、Z 玻色子）的質量。

接著讓我們偏離歷史的主線，來聊聊本文的主題。

在涉足超導體問題前，南部陽一郎算是個很純的粒子物理學家。在 1960 年左右他深究了超導體問題內的精髓，隨後便將這些精神帶回粒子物理的世界，和他的合作者 Jona-Lasinio 為核物理提出了一個低能量有效場論， Nambu-Jona-Lasinio （NJL）模型 [2,3]，直至今日，此模型依然算是量子色動力學（QCD）在低能量時描述核子與介子的有效理論。在此理論中，狄拉克費米子因為手徵對稱（chiral symmetry）自發破壞而獲得「質量」，此質量對應到 BCS 超導體中的超導體能隙，他們從而將當時相對很「輕」的  介子（pion）解釋為因為手徵對稱被自發破壞而形成的南部-戈德斯通玻色子，而將 sigma 介子詮釋為對應的希格斯粒子。

在最低階的近似底下，南部可以利用量子場論的技術去計算  介子、狄拉克費米子、 介子的質量。引起他注意的是，這三個量遵守比例 0 : 1 : 2。事實上在過度簡化的 BCS 計算中，除了無質量的安德森-博戈柳博夫（Anderson-Bogoliubov）玻色子，在另一個頻道也有一個質量為 2 倍超導體能隙的粒子。

也就是說在這兩個跟超導體有關的模型中，各有兩個玻色子跟一個基本的費米子，且當我們比較它們的質量，輕玻色子：費米子：重玻色子的比例恰好是 0 : 1 : 2。正是這些觀察讓南部隨後提出了南部加法規則，我們將在下半部正式介紹它。

參考資料：

[1] P. W. Anderson, Nat. Phys. 11, 93 (2015).

[2] Y. Nambu, G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961).

[3] Y. Nambu, G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 124, 246 (1961).

[4] P. W. Anderson, Phys. Rev. 112, 1900 (1958).

 

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。