可能的新物質相（二）：重力學的類比

■「fracton」雖然是新穎的物理態，但我們卻能從現有的電磁學與重力學中獲得許多直覺，從而也激發許多反饋。

撰文｜蕭維翰

在＜可能的新物質相（一）＞，筆者用極簡的篇幅敘述了物理學家們對於物質的「相」的研究近況，並且指出近年來有許多模型超出了現有物質相分類的框架。更甚者，我們集中了精神在討論一種被稱為「fracton」的準粒子。為了讓大家透過較熟悉的物理知識去理解這個新穎的課題，我們花了一些篇幅複習高三 / 大一靜電學。

簡短的摘要是，電荷的高斯定律告訴我們，任何局部的物理操作沒有辦法改變淨電荷，因為即便是「點電荷」產生的電力線也會終於 / 發自無窮遠處。但電荷的高斯定律並不限制局部電偶極的生成或淹滅，我們也解釋，當我們有創造電偶極的自由度時，孤立的電荷可以自由移動。

在我們進入真的 fracton 課題之前，讓我們插播複習一下電磁學的近親，重力學。在數學上電磁學與重力學一直都很相似，牛頓重力基本上就是靜電學，而線性化的愛因斯坦方程式和協變形式的馬克斯威方程式也並無二致。

但在一些物理結果上卻是有很大的差別的。譬如在電磁學中計算一些天線輻射的問題時，我們討論的是偶極輻射（dipole radiation）。重力學中卻沒有偶極輻射，比如 LIGO 所偵測到的重力波，至少也是四極輻射（quadrupole radiation）。

這兩者的差異在於需要守恆的「荷」不一樣。在電磁學中，守恆的就是電荷。當我們從很遠的地方觀測帶電體的電磁輻射時，我們可以觀測到隨時間變化的量就得是偶極或更高階的極矩。在重力學中，所謂的「荷」基本上是物質的能量。約略而言，單極的荷對應到物體的總質量，偶極對應到動量，由於能量、動量，也就是單極、偶極，都必須守恆，當從遠處觀測重力輻射時，觀察者所可以觀測到隨時間變化的量就必須是四極或更高階的極矩。

這些說白了都不是太艱深抽象的概念，只是往往在第一次討論時，我們不太會用這個角度說明。

現在，我們總算要真的討論 fracton 的物理了。讓我們想像有一個跟電磁學很像的理論，在這理論中的「電荷」遵守高斯定律，更甚者，這理論中的「電偶極」也遵守高斯定律。若我們偷偷往上翻閱，便知道這兩個高斯定律會導致任何局部的物理操作都沒有辦法改變淨電荷以及淨電偶極。

套用前文的情境，若我們一開始準備了某個物理狀態，其中所有帶電荷的準粒子都侷限在一個半徑一公分的球體內，而有一些小天使可以幫助我們改變此球體內的物理態，套用當時的論述可以得知，小天使們在這個新的理論內無法改變這個球體內的淨電荷與淨電偶極數目，因為高斯定律允許我們在幾公里外探測這些資訊，而依據定義小天使們無法干涉那個距離的物理。

因為這樣的限制，小天使們可以創造最基本的電荷組態是四極。

接著考慮一個極端的例子：在這個一公分的小球內只有一個孤立的電荷 +q，而我們可以動員的勞動力只有這群小天使們。我們會發現小天使們無法單純移動這個電荷。這是因為他們可以創造或摧毀的最小結構是一個四極，而在一個單極的組態加上一個四極，無論如何至少都會多出一個偶極。因此，這個 +q 沒有辦法獨自移動，他是一個 fracton。另一方面，如果是一個孤立的偶極，在僅僅有電荷與偶極的高斯定律限制下，小天使們有機會透過創造四極去移動這個偶極。

這便是（筆者所認知）最簡單的 fracton 模型，透過對於電磁學，或說重力學概念的延伸，便可以推論出有一類準粒子符合不能獨自行動的特徵。當然這只是一個角落的故事，我們並未討論這樣的電荷如何影響這種推廣後的「電磁場」的動力學。更甚者，我們可以對這個理論提出更多的限制，讓孤立的偶極只能在某個方向移動。對數學或者量子力學有興趣的讀者可以去參考那些更深入的規範理論 [1,2]。筆者也必須釐清，還有其他有趣的特徵可以用以區別 fracton 和其他教科書內的物理知識，本文只是摘取了能與電磁學相互借鑒的特徵說明。

從類比角度出發的好處是，我們不難想像這類的模型能夠反饋於現有的電磁學與重力學 [3] 知識，甚至可與彈性力學 [4] 的問題進行類比。儘管在學理上，我們尚未完備描述這類物質相的框架，在實際物質世界中，我們也不確定是否有適當的固態材料可以呈現這種特性，但這方面的研究，毋庸置疑又將人類對物質相的想像推進一步。

 

參考資料：

[1] M. Pretko, Phys. Rev. B, 96, 035119 (2017).

[2] M. Pretko, Phys. Rev. B, 96, 125151 (2017).

[3] M. Pretko, Phys. Rev. D, 96, 024051 (2017).

[4] M. Pretko, and L. Radzihovsky, Phys. Rev. Lett. 120, 195301 (2018).

 

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。