我猜牛頓是這樣得到第三運動定律

撰文|趙光安教授

●前言

我在高雄中學高中三年級的物理課是從力學開始:牛頓萬有引力定律,牛頓的三個運動定律,虎克定律,… 等等。我曾經自創一個“表面粗糙模型”,應用牛頓第二運動定律,推導出來虎克定律,於是更想知道牛頓是如何發現這些重要定律。雖然我是茫無頭緒,我的物理老師胡宇平也不能給我答案,他卻鼓勵我不要放棄。

過去幾十年中,斷斷續續的偶爾想到這回事。來到歐洲以後,得利於天時、地利、人和,終於摸索出一些頭緒。不久前整理了一篇演講稿,敘述(我認為)牛頓發現萬有引力定律的思維過程,得到了以下的結果。令太陽的質量為 M,地球的質量為 m,太陽與地球的距離為 R。我推論出:太陽對地球的引力是 FM(m) ∞ C(M)m/R2, 此處的 C(M) 只和太陽的質量 M 有關。當然,地球對太陽的引力是 Fm(M) ∞ C(m)M/R2, 此處的 C(m) 只和地球的質量 m 有關。但是我不明白牛頓是如何得到萬有引力定律  FM(m)=Fm(M)=CMm/R2,此處的 C 只是一個常數。

後來我又寫了一篇手稿,敘述(我認為)牛頓如何得到第二運動定律,但是我始終搞不懂牛頓如何得到第三運動定律。第三定律規範了兩個物體相互作用時,作用力和反作用力的關係,可是兩個物體的相互作用可以是接觸的,也可以是非接觸的,必須分別討論。現在我試圖推論 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2,然後和牛頓第二運動定律結合起來,得到牛頓第三運動定律。

●兩個物體之間的「非接觸」相互作用

牛頓的萬有引力定律是建立在一個「質點模型」上的。太陽和地球都各佔有很大的空間,如何決定太陽與地球的距離 R?太陽和地球雖然很大,可是和 R 比起來,卻是微不足道。因此,牛頓把太陽和地球看成兩個質點,在太陽裡面取一點(點),這就是太陽的位置,它的總質量 M被壓縮在 點,在地球裡面取一點(點),這就是地球的位置,它的總質量 m 被壓縮在 點。點和 點的距離是 R。我們可以做一個想像,用很多假想的平面把太陽分成很多塊:A、B、C、D…等等,每一塊對地球都有引力,是組成太陽的總引力的一個分力。用牛頓的「質點模型」來計算每一塊的分力,我們得先把這一塊的質量壓縮成一點,然後把它放在 點上。如果原來的 A 塊產生的分力,和原來的 B 塊產生的分力,之間有任何關聯,當它們個別的質量被壓縮成一點,移放在 點上之後,A塊和B塊產生的這兩項分力,之間就不會再有任何關聯了。把這些分項引力加在一起,就是太陽對地球的總引力。因此,我相信以下這個合理的結論。牛頓用「質點模型」,知道在任何兩個質點之間都存在著「引力」。太陽是由無數多的質點所組成的,每一個質點對地球都有引力,把這些引力加在一起,就是太陽對地球的總引力,因此,總引力的大小和質量的關係是「線性的」。先知先覺的牛頓,能洞悉真理真像,得到了正確的數學表達式 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2。過了幾年之後,牛頓發明了「微積分」,再用「質點模型」來精確的計算總引力時,就不需要把位於太陽中任何一點的質量移動到 點了!

後知後覺的我還是想更深入的知道 FM(m)=Fm(M)=CMm/R是如何被推導出來的。我的弟弟趙榮安(台大物理系1964年畢業)提醒我兩個重點,第一個重點是,如果太陽的質量是零 M=0,太陽對地球的引力就消失了 FM(m)=0。這個條件,給了我一個重要的啟發,可以用在牛頓時代就已經有的“線性代數學”,解“多元一次聯立方程式”,推導出「萬有引力定律」的完整數學式。我應該先解說一件事。「線性代數」由來已早,「雞兔同籠」就是古代的一個線性代數的「二元一次方程式」的數學題目。現代意義的線性代數出現於牛頓時代的十七世纪。經過一百多年的演進,直到十九世纪時,才完成了從三維線性空間到 n 維線性空間的過渡。同時,由於行列式和矩陣的產生,為處理線性問題提供了有力的工具。於是進一步的發展出函數理論, 和我們現在的討論有關的, f(x+y)=f(x)+f(y) 這一類的「線性函數」,它的「解」都有那幾類,以及他們分別都有什麼數學性質,也是一時的重要研究主題。如果我們用現在知道的「線性函數」的理論,立刻就得到 FM(m)=Fm(M)=CMm/R2。不過,這些「我們現在知道」的數學結論,都是牛頓身後發生的事。

我們就用牛頓時已有的數學知識,從 FM(m) ∞ C(M)m/R2  開始來考慮問題。為了方便表述,我把比例常數包含在 C(M) 中,寫成 FM(m)=C(M)m/R2。因為當 M=0 時,C(0)=0,我們可以用一個「一般解」的形式把 C(M) 表達成

此處的 X2,X3,X4,...皆為待定的係數,a2,a3,a4,...可以有不等於 1 的任何正數值。現在我們想像,太陽被分成很多塊,每一塊對地球都有引力,把這些引力加在一起,就是太陽對地球的引力。讓我們考慮第一種分法,把太陽分成兩塊,一塊的質量是 M/3,另一塊的質量是 2M/3。它們各別對地球的引力是 FM/3(m)=C(M/3)m/R2,其中

 

如果把 X2,X3,X4,...看成待解的未知元,以上的「多元一次方程式」可以寫成

假想把太陽分成很多塊,有幾乎無窮多種分法。相對於每一種分法,就有一個類似的方程式,只是其中的係數不同。我們把第“i”種分法的相對的那一組係數表達為  (Ci,2,Ci,3,Ci,4...)。於是我們得到一組「多元一次聯立方程式」

在這個「多元聯立方程式」中,有幾乎無窮多元,也有幾乎無窮多個方程式。除了所有的 X2=X3=X4=...=0 這個解之外,很難想像存在著 Xi ≠0  的解。即使存在著 Xi ≠0的解,這一組答案也只是相對於太陽的質量 M。如果把 M 換成地球的質量 m,來計算地球對月球的吸引力,因為所有的係數 Ci,n 的數值都變了,我們得到的是另外一組  Xi ≠0 的解。這種「違反自然現象」的數學答案,是物理界不能接受的「非物理答案」。

我們能接受的,合乎自然現象的「物理解」是 X2=X3=X4=...=0。我們從“式-(1)”中就得到 C(M)=CM,進而得到太陽對地球的引力是 FM(m)=CMm/R2。按照同樣的道理,地球對太陽的引力也是 Fm(M)=CMm/R2。這就是牛頓的萬有引力定律

FM(m)=Fm(M)=CMm/R2

●兩個物體之間的「接觸」相互作用

1666年牛頓發現萬有引力定律,二十一年後,1687年牛頓出版力他的三個運動定律。第二運動定律,f(t)=d[m(t)v(t)]/dt,把“力” f(t) 定義為動量 [m(t)v(t)] 隨時間 t 的改變率。如果沒有力加在一個物體上,f(t)=0,它的動量就是一個不隨時間改變的定值。現在我們考慮兩個物體互相碰撞。第一個物體的動量在碰撞前是 P1,在碰撞後是 P2。第二個物體的動量在碰撞前是 Q1,在碰撞後是 Q2。因為沒有「外力」加在這兩個物體上,它們的總動量就不會因為互碰而改變,所以 P1+Q1=P2+Q2,或者寫成 P2 -P1=-(Q2-Q1)。我們用 T 表示互相碰撞所經歷的時間,用牛頓第二運動定律,我們就得到,第二個物體加在第一個物體上的力是 F1=(P2-P1)/T,第一個物體加在第二個物體上的力是 F2=(Q2-Q1)/T,亦即 F2=-F1。所以,兩個物體作「接觸力」的互相作用時,作用力和反作用力的大小相等,方向相反。

●牛頓第三運動定律

在1666年牛頓發現萬有引力定律時,「力」還只是一個觀念,到牛頓得到第二運動定律時,才確定了「力是一個能測出的物理量」。我弟弟趙榮安提醒我的第二個重點是,根據  FM(m)=Fm(M)=CMm/R2  這個數學式,測太陽對地球的引力,和測地球對太陽的引力,會得到同一個數值。因此,太陽對地球的引力,和地球對太陽的引力,並不是兩個獨立的力,而是一個力。所以在牛頓推導出,「兩個物體作接觸力的互相作用時,作用力和反作用力的大小相等,方向相反」之後,一定是很快的就了解到,以上的數學表達式,所代表的物理作用,是一個「互相作用力」,是太陽和地球兩個非接觸物體之間的,大小相等,方向相反的「作用反作用力」。到此時,牛頓就完整的建立了他的第三運動定律。

●後記:天文力學新紀元

太陽和地球之間的相互「作用反作用力」,不會改變「太陽和地球的總動量」。如果在「單位時間」內,地球的速度改變是UE,太陽的速度改變就是 Us=-(m/M) UE,Us 的值比 UE 的值要小很多很多。於是,當地球在一個大的橢圓軌道上運行時,太陽也在一個,相對於地球軌道的大小,非常非常小的橢圓軌道上,沿著相反的方向運行。在牛頓的時代,地球上的人是無法測出太陽在運動,就認為太陽是永遠靜止的。在他的多次演講中,Richard Feynman常說:「有了足夠的資訊以後,就能“猜”出正確的答案」。我可以想像,牛頓“猜”出了以下的這個答案。太陽和地球以相反的方向在各自的橢圓軌道上運動,在連結太陽和地球的直線上,就有一個點是相對不動的。用「平面幾何」來計算,這一點和地球的距離,是和太陽的距離的 M/m倍。如果沒有「外力」加在「太陽-地球」這一個系統上,這一點是相對的永遠靜止,或作等速直線運動,而太陽和地球都繞著這一個定點運轉。在兩千兩百多年前,阿基米德從在地面上所做的實驗,定義出「質量中心」。牛頓分析出的這個「相對不動點」,就是阿基米德定義的「質量中心」,於是就把「質量中心」的觀念推廣到所有的天體運動中。

在很久之前,天主教會以神學為基礎的「天動理論」,認為地球是宇宙中「靜止的中心」,天空中的萬物都繞著地球轉。波蘭天文學家哥伯尼認為地球是繞著太陽轉,可是他的「地動理論」被天主教會禁止了一段時期以後,才被公開接受。牛頓的基本的運動定律,更進一步的推進到「天地互動理論」,替天文力學開創了一個新紀元。

 

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