電導率、弱局域化、與量子混沌（上）
■儘管古典的圖像提供了學者們最初階的電導計算能力，但量子效應中不同物質波的建設性干涉仍提供了不容忽視的修正。
撰文｜蕭維翰
理論物理學的目的是為物理現象提供一些定量的描述。也因此一個完整的物理理論，應該能計算一些可觀測的物理量。基於人類對電磁現象的掌握，在可測量的一系列物理量中，電阻率（resistivity），或者是它的倒數，電導率（conductivity），大概是最直接的對象了，也因此，本文想趁機談談在一些問題中，物理學家如何從理論模型中得到電導率，而又有哪些因素會影響電導率。
電導率或者電導之所以直覺，是因為他的定義單純：只消在實驗室中打開一個電場（或電位差），然後量測電流的響應[1]，電導率即是電流與電場間[2]的比例常數。
電流可以想成是微觀帶電粒子流動造成的現象。如果系統內的帶電粒子在外加電場中，長時間尺度下擁有一個平均的漂移速度（drift velocity）巨觀而言我們會看到帶電的粒子流往某個方向走，就是電流。要研究電流，核心的問題就是粒子在施加電場後有多會跑。
在剩下的篇幅我們嘗試談論這個問題跟一些特徵的時間尺度。
從最古典的圖像出發，一個帶電粒子在電場下感受到電磁力，依循牛頓定律 F = ma 進行加速度運動。如果沒有東西去攔著它，它就會越跑越快，如此一來，長時間下測量到的電導率會是無限大。然而，在一個系統中，還有許多許多的帶電粒子跟其他原子等等結構，上述的粒子沒有辦法暢快地加速，反之，它會步履蹣跚地一路碰撞。簡約地描述這些碰撞效果的參數是「弛豫時間」（relaxation time），它代表平均而言，這個粒子多久會遭遇一次碰撞，這個效果等同一個阻力，長時間下來會形成「力平衡」[3]，而粒子們終將達到飄移速率，反映成有限的直流電導率。[4]
接著來想量子效應帶來什麼效果[5]。
在量子力學的框架下，粒子具有波動性，談論一個粒子的絕對位置已經不合適（因為我們還要談論它的動量、能量）根據不確定性原理（uncertainty principle），粒子位置的精確度只能[6]到達它的德布羅伊波長（de Broglie wavelength），這個波長定義了一個長度的尺度，如果這個波長跟「平均自由徑」[7]相比很小，使得這個波包看起來還是像個粒子，我們便稱這個問題是準古典（semi-classical）的。
根據費曼，一個粒子從一個點 A 到另一個點 B，它會考慮所有可能的路徑，每一條路徑都貢獻一個機率振幅，將所有的機率振幅加總取絕對值平方後，就是粒子從點 A 到點 B 的機率。在準古典的極限，因為不同路徑間的波包的破壞性干涉，貢獻最大的的確是個別路徑的機率和。
若今天 A 跟 B 是同一個點 O，意即考慮一個粒子從某點出發後，又回到原來那一點的機率，上面這個論述依舊成立，但值得注意的是有些路徑間兩個波可以有「建設性干涉」（見圖三），簡單的估計可以發現，考慮這些量子的建設性干涉，粒子回到原點的機率是古典的 2 倍！
當粒子比較容易回到原點，就表示它比較不容易流走，也從而提升了電阻、減弱了電導。此現象的基礎是物質波之間的干涉，但波與波之間的相干性（coherence）很可能在與雜質散射的過程中減弱，這個效果在現象學上由另外一個時間尺度「相干時間」（coherence time）描述，代表平均經歷多長的時間，波包間會喪失相干性。在低溫，這個與雜質和交互作用強度無關，而跟空間維度有關的現象稱為弱局域化（weak localization）。在2維系統局域化的強度正比於相干時間與弛豫時間的比值的對數。
至於混沌現象如何切入來影響弱局域化的結論，就讓我們在下文討論。
註解：
[1] 當然實際上的操作沒這麼單純，但大概念上是如此。
[2] 更精確地講是電流密度與電場間。
[3] 瞬時來看當然沒有平衡，這是一個長時間後的淨效果。
[4]這個看法在量子力學出現以前已經存在，教科書中稱之為 Drude model，令人驚訝的是，即便考慮第一階的量子力學修正，整個解的形式並沒有改變，僅僅修正弛豫時間的強度。
[5] 讀者們可以去複習某一期探索，這邊講述的術語應該在那裡都找得到。
[6] 我並不是在說量測，而是即便在理論上「談論」，我都不應該超過這個精確度。
[7]約略而言是弛豫時間乘上費米速度，也就是一個粒子平均走多遠會碰撞一次。原則上是要考慮經過量子修正的，因為不是所有的碰撞都會影響電導的效能。
參考資料：L. Altshuler, A. G. Aronov, A. I. Larkin, D. Khmel’nitskii, Anomalous Magnetoresistance in Seminconductors, J. Exp. Theor. Phys. 54, 411 (1981).
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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。
