【探索15-5】螢火蟲的數學習題:同步現象的過去、現在、未來

icools@flickr.com
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講師|交通大學應用數學系 莊重教授
撰文|
沈君宜

●「同步現象」有多熱門?無所不在的同步現象
在Google Search上,最常見的英文字 “the” 可以見到 \ 10^{10} 數量級個條目;synchronization (同步)這個字,竟然也有 \ 10^{7} 條,和 quantum mechanics(量子力學)及知名球星Stephen Curry 位列同等級;甚至 general relativity(廣義相對論)和 Jeremy Lin(林書豪)都得甘拜下風。同步現象之所以如此眾所矚目,不難想像它是跨領域、跨尺度的。舉凡數學、物理、化學、生物、天文等自然科學領域,乃至工程、經濟、社會學,都少不了它參一腳;尺度更是橫跨奈米到天體,大小通吃。 “Pervasive, ubiquitous, and omnipresent.” 恰可為同步現象下註腳。

歷史上,同步現象寫下的故事自也佔有一席之地。2000年完工開放的倫敦千禧橋(Millenium Bridge),慕名而來的人潮眾多;其水平頻率與參觀人潮行走頻率相互影響、加成,所導致劇烈搖晃使它被迫關閉。大尺度的同步現象——比如太陽系中小行星帶的重力同步——對一般人而言似乎遙不可及,但中尺度的例子想必耳熟能詳:螢火蟲、鐘擺、鳥、蟋蟀、電力系統,甚至女生室友經期的同步。其他像是心肌節律細胞(pacemaker cells, p-cells)、腦神經元、生理節律細胞(circadian cells)、電子,又把同步現象擴展到了細微處。腦部疾病、認知記憶,與同步現象都脫不了干係:研究顯示,記憶新事物時,特定腦區會成同步狀態;若是自覺健忘,大概也可以怪罪同步現象的失調吧!

大千世界由各種生物和無生物所組成,同步現象兩系統中均未缺席。同步的基本概念認為,自然界存在各種「振盪器(oscillators)」,舉凡一隻蝴蝶、一個節律細胞,都可以稱作一「振盪器」。看似彼此為獨立個體,但自然界存在各式各樣的管道,讓它們得以相互交談。交流的目的,便是達到和諧、同心、一致了。這樣的規律,早在兩千年前(400 B.C.)就有跟隨亞歷山大大帝南征北討的部屬 Adrosthenes 記載。然而,科學史上正式的紀錄,則要追溯到西元1665年的惠更斯。當時的計時工具,每天可以慢上15分鐘,但他做的擺鐘,提高了幾百倍的計時精準度。時值航海時代之始,本來人們期待以準確的計時器協助經度劃分,可惜最後在風浪顛簸中,擺鐘未能完成任務。但有一天,惠更斯休息時看見掛在牆上的兩擺鐘,似乎出現了相位相差180度(方向相反、速度相同)的同步擺動的現象。不論惠更斯如何實驗、撥亂擺鐘、改變它們之間的距離,只要掛在同一面牆上,最終都能回到同步。他將此事於書信中與父親交流,「同步現象」也因而在科學史上留名。

●螢火蟲的啟示
生物界的同步現象中,當屬螢火蟲成名最早。1915~1935年間,「科學(Science)」期刊中,共有21篇論文以此為主題。究竟是巧合、是環境因素,或是蟲群中有一「領導者」,眾「蟲」唯牠是從?直到1960年代,有系統的說法漸趨成熟:每一螢火蟲都有自己內在的頻率、自己的週期與循環;同時,每一隻螢火蟲也都會根據夥伴的頻率做調整。但對於雄蟲同步發光的意義,求偶、競爭、合作等可能性,眾說紛紜。這個話題紅極一時,甚至曾遭到美國眾議院議員批評:「花納稅人的錢研究螢火蟲發光,簡直浪費公帑!」誰知,後來這看似無用的研究卻神奇地有了應用之處——路由器(routers)的同步,使資訊傳播遇到了阻礙;由螢火蟲身上習得的知識,恰恰可提供啟示。科學、數學上,「無用之用」往往毫不留情的「打臉」短視近利的人們。

生物學範疇中,心臟的節律細胞(pacemaker cells, p-cells)同樣引領好一陣子的風騷。擁有數學及生理醫學雙學位的美國國家科學院士 Charles Peskin,以方程式敘述p-cells 本身的內在時鐘及與周遭的互動機制:第一個方程式,描述每一個細胞有自己的電壓及能量,直至跨越閾值,旋即瞬間釋放能量後歸零。而它們的互動方式是「各玩各的,只有瞬間互動」——唯有某些細胞達到門檻放電時,彼此之間才產生交流。式子中的Ti 表示跨越門檻的時間,wij 則是影響到其他細胞、為其他細胞增加的能量。

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看似十分合理的數學模型,卻因為函數不連續而處理不易。於是Peskin 猜測:一可能是所有的p-cells 都是相同的(identical oscillators),二是彼此有微小的差異(non-identical oscillators)。不論哪一種,皆可以達到最終的同步;也分別在1990年由 Mirollo & Strogatz 、2008年由莊重教授及其學生,成功解題。同樣的概念更可以用在地震的模擬,將板塊等同 p-cells、壓力類比電壓;超過能量閾值後,一板塊的運動會引發另一板塊的響應,是以大地震後的餘震不斷。

提到同步,不能漏談勤奮數學家 Norbert Wiener 的小故事。一日,他準備搬家,妻子深諳他的性子,因而將新家的地址寫在紙上備忘。然而到了下班時間,那張字條早就成了 Wiener 的計算紙。他到了舊家才猛然想起這事,急忙抓了路邊的小女孩,問:「你知道 Wiener 先生一家的新地址嗎?」不想小女孩答道:「我知道啊,爸爸。」如此一位廢寢忘食的數學家,對同步現象有觀念上的貢獻;他是第一個處理巨量的個體、指出同步現象無所不在的人,也以α波的研究留名。他並提出在一性質的分佈上,「中間」的力量是最為強大的,也將逐步累積而增加。時值學生Art Winfree 初入大學,他將Wiener 此一想法化為模型。這是一個與位置相關的「叫與聽」的函數;第一項大於第二項時,會「叫」第二項增加速度,反之則「叫」它減速。此模型因為過於複雜且非線性,只能仰賴電腦幫忙運算了。Winfree 並在思考實驗中,提出同步狀態的達成,與群體的「均勻度」相關。

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Winfree 固然天才無比,其模型仍嫌繁複;Yokishi Kuramoto 則矯正了此一缺點。他將 Winfree 的叫聽函數改成「看」的函數,改為與位置無關,並增加對稱性。所謂的「看」,指單一的振盪器計算與他人的相對位置,加以平均後作為矯正之標準。這樣的矯正隨時進行著,系統中的每一振盪器也都參與其中。經過這個巧妙轉換,理論分析的可行性大幅提升,Wiener 與Winfree 亟欲觀察的現象也得以展現。接下來,1973年的諾貝爾得主Brian Josephson 觀察「量子同步」的現象:將上兆個同步的庫柏偶(Cooper pair)電子通過絕緣連接板而產生超導。雖然尺度相差甚大,但與鐘擺的同步,卻可以用相同的簡單微分方程式描述。數學在同步現象上的貢獻,至此已無庸置疑。

●革命尚未成功,同步仍需努力
至於當紅話題「混沌」是否也可同步?物理學家Pecora 以此為壯志,最後「以混沌制混沌」的方法終於成功。Satake 與 Iwasa 「森林與開花的樹」更談到自然界中的混沌與同步——每一棵樹具有一個生理時鐘,本身即可能有一週期、亦有可能為混沌。有趣的是,它是一個離散型的函數,每年當作一不連續的單一時間點;彼此之間的互動則屬於不平滑的互動方式。

科學與數學上的難題,經常被普羅大眾詬病脫離生活。但同步現象近年已然超脫單純的數學之美、研究樂趣,在諸多領域皆有佳績——常見的GPS、雷射、醫療上令人頭疼的癲癇,甚至機翼的裂縫與地底的石油。交通大學的實驗室也推出可加密通訊訊號的函數,製造出好用的混沌,並通過美國國家安全局的亂數檢驗。

眾多科學家的齊心協力下,同步現象的了解與模擬堪稱大有進展。大業完成了嗎?當然不。許多數學上可證明的現象尚未經過實際的實驗觀察,是一大根本問題。至於同步現象可否跳脫自然領域,走入社會?考量人類世界的錯綜,或許又是漫漫長路了。

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本文整理自:105/5/14 
由莊重教授在臺大思亮館國際會議廳所主講之「同步現象的歷史、數學和應用」演講內容。

 

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