【探索15-4】花豹的斑紋與數學不得不說的故事
講師｜中興物理系 廖思善教授
撰文｜陳文翊
●花豹斑紋跟碎形
花豹的斑紋是怎麼形成的？仔細看花豹的斑紋發現它似乎像是之前介紹過的碎形。在問花豹的斑紋是不是碎形前，需要先了解碎形是甚麼？雖然數學上對碎形有更嚴謹的定義，但在這裡我們只討論碎形的一些特性：一個是它在不同比例尺下依舊維持著圖形的結構，並不是毫無規則的出現，這某種程度說明了「有序」的概念；二是圖形有自我相似性。現在回頭來看花豹的斑紋，發現的確呈現有序以及自我相似的特性，因此可以視為一種類似碎形的圖案。
●花豹斑紋跟混沌系統
又問，花豹斑紋跟混沌的關係？混沌最重要的特徵是對初始條件敏感，一開始一個小小的變化，後來造成的影響會越來越大無法預測。混沌系統的背後是一些微分方程式，這些微分方程式會有奇異吸子 (strange attractors)，像是 Lorenz attractor，這些吸子會使整個系統出現一幾何圖像。又奇異吸子是怎麼產生的？它可以由簡單的吸子之間的競爭產生，若平面上只有一個吸子的話會把點都吸過去，但如果一個平面上同時存在好幾個吸子，又會發生甚麼事呢？舉個例，像是謝爾賓斯基三角形(Sierpinski triangle)，在這個圖形上有三個吸子，所有點有的機會被三個點吸引，出現的點落在後來會形成謝爾賓斯基三角形的位置上，而且不會重複，一開始圖形可能還不明顯，但等到出現的點夠多後，漸漸的有自相似性的三角形們就會出現了，這些點跳動的軌跡無法預測，因此是個混沌的系統。又謝爾賓斯基三角形是一種碎形，跟其他的碎形一樣，可以從奇異吸子中產生。
●花豹斑紋形成的原因
現在討論花豹的斑紋是怎麼形成的？有一種觀點是目的論，意思是它的形成是有跡可循的原因，像是螺旋葉序形成的原因，或許是為了讓每個葉片都可以照到充足的陽光。在這裡不得不提一個與之相關有趣的數學關係，先把植物由上往下看，讓它變成一個平面的圖像，如果我們把葉片當作是一個點，每個點跟點之間比較，較相近者相連，並一路連到植物的中心，會發現每一條線都不會重疊。要怎麼擺這些葉片才可以這樣呢？試想如果是每隔60度擺一個，那擺六個葉片就會重複，所以角度不能擺360度的因數，甚至是選無理數當作角度。其他也會呈現螺旋線的，舉例松果，松果可以畫出左旋跟右旋的螺旋線，更巧的是，左右螺旋的數量分別是8跟13條，這令人想起費布那西數列 (Fibonacci number)，費布那西數列也有一些有趣的特性，像是如果把相鄰兩數，前者除以後者的結果取極限，會得到一個無理數，換算成角度就會是黃金角，常常兩兩螺旋葉相鄰的角度會接近這個角度。另一種花豹會形成斑紋的觀點是從達爾文出發，抱持的論點是，天擇的基本單位是基因，然後基因是自私的，它們會運用自私與利他的各種策略，使自已成為最具競爭力的複製者。
●斑紋的成長與型態
在這裡不得不提由艾倫·圖靈提出，並由 Hans Meinhardt、Alfred Gierer 等後來的科學家持續修正的數學模型
圖靈原本的想法類似這樣：一個原本是圓形的馬胚胎，如果不經過反應跟擴散，是不會形成馬的形狀的。也就是說一個原本可能是均勻、對稱的物體在經過 reaction-diffusion system 後，可以改變物體原本的形狀。在這個模型裡面有兩種不同的分子，稱作 morphogens，它會透過 reaction-diffusion system 建立起不同的化學梯度(gradients)。為了要得到最後可以穩定一段時間的圖形，必須要對這個系統作假設，假設 morphogen A 可以自我催化，所以A產生的速率會正比於A現在的數量，又A它也會促進另一個 morphogen B 的形成，B的功能是抑制A的形成，因此這個系統是在A的自我催化跟B的抑制中競爭，如果要形成一個穩定的圖形，則B的擴散速度要比A還要快，這意味著A的自我催化會讓A在某些位置數量是佔有優勢的，但在遠離這些位置一些距離後會被B給抑制，B有較快的擴散速度確保在小範圍裡不會抑制A的產生，因為B消散的太快了。因此A跟B在整個圖上不同的位置有不同的數量，使整個系統不再像是原先那樣均質。圖靈提出的數學模型提供一個，討論花豹斑紋怎麼形成的方向，廖思善教授利用此方程式，分成兩階段設定參數，模擬出近似花豹斑紋形成的過程。
●結語
但花豹斑紋的形成就是這樣嗎？所有形狀、斑紋不能只是從表面上看到的就去臆測，應該要多去仔細研究背後的原因是甚麼，達爾文的天擇說，形式源自功能上的需求，但天擇並不能回答「如何」的問題，花豹斑紋的形成可能有很多種答案，而跟物種演化有關的基因，並不是生物問題的終結，而只是個開始。最後，有沒有甚麼語言可以描述這些圖形、形狀呢？或許形狀的自然語言是數學，而形狀的形成機制是物理。
參考資料：
1.Nature’s Patterns – A Tapestry in Three Parts, Philip Ball, Oxford (2009)
2.Two-stage Turing model for generating pigment patterns on the leopard and the jaguar, S. S. Liaw et al, Physical Review E 74, 011914 (2006)
3.Nonlinear Dynamics and Chaos, Steven H. Strogatz
4. 生物世界的數學遊戲，Ian Stewart著，蔡信行譯，天下文化 (2000)
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本文整理自：105/4/30 由廖思善教授在臺大思亮館國際會議廳所主講之「花豹的斑紋與數學不得不說的故事」演講內容。
