【探索14-8】廣義相對論與數學

講師｜哈佛大學數學系 丘成桐教授
撰文｜蕭維翰

愛因斯坦曾提及科學是以不自然的方式理解自然，在筆者的理解中，此觀點與數學在描述自然現象與提供定量結果的異常有效是相互呼應的。然而，數學課本中令人目不暇給的定理並非皆橫空出世、天外飛來，若我們更深入地認識理論背後的歷史脈絡，會發現數學體系的建構常緣起於自然問題（常常是物理學）的解答。

是以，與其比較數學與物理乃至於其他科學學門在歷史進展上的先後優劣，認識它們如何自彼此汲取養分從而使人類科學的疆域更加遼闊，或許會是一個較健康的觀點。翻閱歷史，十七至十九世紀的科學巨擘如牛頓、歐拉、拉格朗日、哈彌爾頓、傅立葉等，無不同時身兼一方數學與物理學泰斗的角色，時至今日，學門的精細分工下，如此多棲的全才已不復見，但物理學自數學理論尋找新語言，數學自前沿物理問題刺激靈感與方向，兩學門間的交流與互動，與往日相較其實有過之而無不及，本系列講座的主題，廣義相對論，即是這種互動的極佳範例。

一個世紀多前，今日理工學院標準的數學課程大抵已經塵埃落定，傅立葉分析的技術將函數都寫成了波，將線性方程式的解析化為一頁頁頻譜。黎曼師承高斯對微分幾何的研究，將後者在三維空間內曲線與曲面的理解推展至更高的維度，在高斯的框架下，透過「曲率」（curvature）他有系統地研究了如何去定量說明三維空間內的曲線或曲面有多「彎曲」，並且他更證明曲面的彎曲是可以由測量曲面本身的一些幾何性質得知，白話一點說，原則上人類並不需要上太空，而可以透過測量地面上三角形的內角和得知地球是圓的，黎曼將這樣的概念推廣到了更高的維度，並且透過「度規張量」（metric tensor）定義「長度」，在適當的條件下，高維度空間的彎曲性質也可以透過度規張亮的衍生物，「曲率張量」（curvature tensor）標定。^[1]此外人類自有文明起即醉心的對稱性，也透過群論獲得抽象且系統性的理解。在這個意義上的對稱，可以理解成我們對感興趣的系統進行一個操作，而使這個系統不變 ; 例如，所謂球有豐富的旋轉對稱，意指這個球在任意旋轉後，看起來都一樣。對稱與物理理論結構更經由德國數學家諾特的推展深刻的契合，約略而言，她指出物理理論的對稱性^[2]對應到守恆的物理量，譬如旋轉對稱性對應到的即是角動量守恆，諾特定理以降，對稱性的考量逐漸變成物理定律的指導原則。

在數學世界生意盎然的二十世紀初，年輕的愛因斯坦正著手要馴服重力至他相對論的架構內。

狹義相對論推廣了牛頓運動定律，從對稱的觀點著手，牛頓運動定律是在三維旋轉群作用下不變的，例如一個人的身高（長度）並不因為面對的方向而有所不同。狹義相對論中慣性坐標系間允許勞倫茲（ Lorentz transformation）變換，有長度收縮（length contraction）的現象，因而空間上的長度不再是放諸四海皆準的概念。所幸，閔考斯基指出勞倫茲變換依舊形成一個群，在它的作用底下一個「時空間的長度」

是保持不變的，今日我們將這類的時空間稱為閔考斯基時空。這意味著在相對論的層次，從幾何的觀點，分別考慮時間與空間已經不適用。牛頓的重力理論並不具備時空間的對稱性，它透露的訊息是物質的質量分佈決定了重力位勢的空間分佈，當時對於水星近日點進動現象的觀測，亦已顯示出牛頓理論的不足，愛因斯坦理解到他的重力理論，必須能更精確地計算水星近日點進動，並在弱重力的極限逼近牛頓重力。

愛因斯坦並不是總在口袋內放了很多數學武器的物理工作者，他的長處是大量的想像實驗。其中廣為人知的一個是：在自由下墜的電梯中，人感受不到重力，加速度跟重力是等效的。現在我們稱此為等效原理（equivalence principle），等效原理儘管足以說明光線在重力場中的彎曲以及光譜的重力紅移，但距離一個完整的理論，卻還遠遠不足。然而，經閔考斯基幾何化的相對論提供了一個暗示：等效原理亦可被敘述為，在局部時空間內，重力場跟一個非慣性坐標系是等效的，從閔考斯基時空的角度，所謂加速坐標系僅是一個坐標轉換，因而愛因斯坦得到了線索，重力或許可以歸納為時空的幾何動力性質。而因為從慣性系到非慣性系，坐標選擇的自由度已經超越了狹義相對論的勞倫茲群，取而代之的是任意選擇時空坐標的對稱性，在狹義相對論中被當成是常數的度規張量，經推廣後也必須反映時空的動力性質。

具備這些基本元素後，愛因斯坦需要一個微分方程式來描述度規張量的動力學，這個方程式需要符合一些條件，譬如，它必須是個二階微分方程，然後，因為方程式需要有明確的物理意義，它必須由張量組成。當時所知道這樣的量並不多，愛因斯坦與格羅斯曼選定里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）描述時空的動力，而驅動時空變化的來源，則推廣了物質質量分佈的概念選定能量動量張量。一切看似水到渠成，但這個方程式確有著數學上的致命傷 ; 根據諾特定理，若一個理論具有時空間平移的對稱性，能量動量張量是符合守恆律的，然而里奇張量並沒有守恆的性質，此方程必定需要修正。終於在 1915 年，愛因斯坦找到了今日被命名為愛因斯坦張量的組合，廣義相對論的動力學愛因斯坦方程式於焉敲定。^[3]

運動方程式的決定並非故事的結束，愛因斯坦方程式固然簡潔優雅，但本質卻是複雜的非線性方程式，研究該方程式的解以及解與方程式所預測的現象正面地回饋到微分幾何本質的研究，例如丘成桐教授與 Richard Schoen 於 1979 年證明的正能量定理，即是確定愛因斯坦方程與其解穩定性的基本工作。更進一步，一如前兩期論其黑洞量子效應時所言，將重力量子化的進展至今尚未明朗。

物理學家不一定會特地為了工作發明屬於自己的數學，因而一路看來我們可以理解廣義相對論的建立少不了當代數學巨擘如閔考斯基、格羅斯曼、希爾伯特等人的參與，同時物理學理論確立後，也迸發許多明確但懸而不決的問題吸引新一代數學家們攻克。

臺大翁秉仁教授曾論及近代數學的趨勢是幾何化與拓樸化，其實物理理論自廣義相對論起，也有著幾何化的趨勢：重力的物理現象被歸納成時空的幾何性質，高能物理中的規範場論亦可理解為微分幾何「纖維叢」（fibre bundle）的概念。終極理論的候選人之一，超弦理論，需要足夠大的時空維度來支撐自由度的數目，為了解釋多餘的維度無法觀測，其基本想法之一即在四維時空中每一點都賦予一個極小的卡拉比-丘空間，此空間雖小但它幾何性質卻足以決定弦的物理特性，此外，超弦理論的擁有連結費米子（fermion）與玻色子（boson）的超對稱，其表現技術也被運用在指標定理（index theorem）等數學問題上。對於重力學者而言，量子重力理論的解決無疑是 21 世紀的珠穆朗瑪峰。儘管我輩並未躬逢古典廣義相對論在物理學與數學互相激盪中誕生的世代，但下個百年，我們依舊可以期待兩學門悉心植栽後繁花的盛開。

註解：

^[1]所謂「張量」是一些有明確意義的量，因為它本身的意義是明確的，因而在坐標轉換時，張量的分量需要進行特定的組合。舉例而言，歐氏空間的向量是一種張量，假定在某一個坐標系中有一個向量 v = (1, 0, 0)，它的長度是有明確意義的，亦即在旋轉作用下它的長度 1 不變，若有另外一個人選擇用另一個旋轉 90 度的坐標去描述 v ，那麼 v 的分量在坐標轉換下要重新組合成 v’ = (0, -1, 0)，使得它的意義不變，另一方面，同樣一個括號 (葡萄, 蘋果, 香蕉) 就不會是向量，因為在坐標更換之下，水果之間並沒有道理去組合在一起。

^[2]更精確而言是作用量（action）的對稱性。

^[3]值得一提的是，與愛因斯坦在重力問題上有書信往來及深入討論的數學家希爾伯特，獨立且幾乎同時（或說更早）從最小作用量原理的角度發現愛因斯坦方程式。

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本文整理自：104/12/19由丘成桐教授在臺大應力所國際演講廳所主講之「廣義相對論與數學」演講內容。