【摺紙專欄】「摺紙中學數學」之名片試金石

Da_Vinci

■你知道傳統名片是黃金比例嗎?讓我們用摺紙告訴你!

撰文|新北市林口國民中學 李政憲

我們在路上與人寒暄,或是到某些店家消費,決定下次再來,不免會向人要些名片;然而久了不用了,這些名片就塵封在皮夾或抽屜的某個角落,似乎不會再去用它,殊不知這些名片裏蘊含了寶貴的數學訊息,十分值得我們去探討與研究。

近年來由於科技日新月異,個人化及客製化的名片更是層出不窮,樣式與大小琳琅滿目。然而傳統規格的名片(如圖1)仍是最常見也最易獲得,不知讀者是否曾經研究過傳統名片長比寬的比值?

1101傳統名片紙最常見的長寬比為黃金比例 \ \frac{ \sqrt{5} +1}{2} (此種長方形稱為黃金矩形,參見附錄一與附錄二),其次為費氏數列前後項的比值;實際上,當費氏數列的項數愈大,其前後項的比值也會愈接近黃金比例,是故兩者的比例仍有其關聯性。

要如何確認名片的長寬規格是否為黃金矩形呢?根據黃金比例的值,我們可以透過摺紙,利用以下的幾個步驟完成證明:

 

1.   取一張常用尺寸的名片紙(不妨多加比照不同商家的名片,取得出現頻率最高者),摺出長邊的中線:(如圖2)1101-2

2.   長邊的一半 \ \overline{AB} 摺至中線後還原:(如下圖3)1101-3

3.   摺出第2.步驟於短邊上產生的點C與底邊另一端點D的連線 \ \overline{CD} :(如圖4)1101-4

4.   將 \ \overline{BC} \ \overline{CD} 對齊,摺出∠BCD的角平分線:(如圖5->圖6)1101-5

5.   將 \ \overline{DE} \ \overline{CD} 對齊,摺出∠CDE的角平分線:(如圖7->圖8)1101-7

奇妙的結果發生了!透過以上幾個簡單的步驟,我們居然讓原矩形右下角的B點與左上角的E點重合,想想看這告訴我們什麼結論呢?

請見圖9,若假設名片紙的長為,因為我們摺出中線與等腰直角△ABC,故 \ \overline{BC} = \frac{1}{2}a 1101-9

根據將∠B摺至 \ \overline{CD} 的動作與勾股定理的計算, \ \overline{BC} = \frac{1}{2}a \ \overline{CD} = \frac{ \sqrt{5} }{2}a ,故 \ \overline{DE} = \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} a (如圖10)1101-10

將∠B與∠E攤開還原,則我們可以看到原始名片的長寬為 \ a: \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} a=( \sqrt{5}+1 ):2 (如圖11),也就是名片紙長比寬的比值為黃金比例。1101-11

是不是很特別呢?事實上,根據黃金比例最原始的定義,我們還有另一種更簡單的摺紙方式可以證明它,只是這一次需要有兩張黃金矩形的名片與一把剪刀:

1. 將第一張名片的寬邊 \ \overline{CD} 摺至 \ \overline{BC} 上,產生等腰直角△CDE(如圖12->圖13)1101-12

2. 沿著 \ \overline{DE} 將矩形ABDE剪下,旋轉90度後與第二張名片對齊左上角(如圖14->圖15);1101-14

3. 分別摺出大小兩個矩形的對角線,發現兩個矩形的對角線會重合!(如圖16)1101-16

因為只要證明長寬比,為了方便起見,這次我們假設原名片的長為X,寬為1,則依裁下後的矩形與原矩形相似(因對角線會對齊),對照圖17,故可列式得: \ x:1=1:(x-1)

即大長方形的長寬比=小長方形的長寬比,依比例式乘積可得 \ x^{2}-x-1=0 ,依公式解可計算出 \ x= \frac{ \sqrt{5} \pm 1 }{2} (負不合),即原矩形的長寬比為黃金比例。1101-17

第二種方式的摺法較簡單,不過因為牽涉到一元二次方程式公式解的運算,故計算的過程較為複雜。事實上,根據黃金比例的定義(可參考附錄二),在我們發現大小兩個矩形對角線重合構成相似後,原矩形的長寬比即為黃金比例;至於第一種摺法雖然較複雜,不過使用的計算則是根據商高定理(勾股定理)與簡易的根式運算。
故以上的兩種摺紙與證明方式,都可以讓讀者在國中八年級上學期(第3冊)學完相關課程後,再行補充作相關了解與應用。

討論完名片紙的長寬比後,讀者不妨檢驗一下手上的名片紙,看看它們的長寬比為多少了(附帶提到一點,圖1中有一張名片的長寬比不是黃金比例,不曉得您看得出來是哪一張嗎?)。至於蒐集來的名片紙要如何進一步的設計運用呢?筆者曾將此課程納入本校的社團課程活動,結果學生自行設計出豐碩的成果展(如圖18、圖19)。也曾在新北市立秀峰高中國中部的數學教師專業成長研習中,分享相關的數學操作與指導經驗,詳細內容將於下一篇文章中介紹。1101-181101-19

備註

本文章相關教學簡報,已放置於林中藝數殿堂:http://163.20.9.8/dyna/menu/ index.php?account=math中,歡迎有興趣使用的讀者自行下載運用,並請寫信再與我互動。該簡報所繪製使用的軟體為交大陳明璋教授與AMA團隊自行研發的AMA程式集,外掛於PowerPoint軟體中,敬請參閱http://ama.nctu.edu.tw/

《附錄一》名片紙黃金比例說明網址:
1. 設計-黃金比例@索尼與香蕉王的紅燈人生痞客邦PIXNET:http://sony1708. pixnet.net/blog/post/24488522
2.   印刷昶,icashprint!痞客邦PIXNET:http://icashprint.pixnet.net/blog
3.   好文设计的黄金比例(A4、名片尺寸比例) - Web Design & Development - 香港硅谷:http://www.hksilicon.com/kb/ cn/articles/2604/A4?mobi=true#

《附錄二》黃金比例相關介紹:
關於黃金比例的說明、計算、參考資料等連結,建議讀者不妨可參考建國中學知識充電站的說明與推導方式,網址為:http://lib.ck.tp.edu.tw/monthly_theme/0610/0610index.htm

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