【摺紙專欄】「摺紙中學數學」之名片試金石
■你知道傳統名片是黃金比例嗎？讓我們用摺紙告訴你！
撰文｜新北市林口國民中學 李政憲
我們在路上與人寒暄，或是到某些店家消費，決定下次再來，不免會向人要些名片；然而久了不用了，這些名片就塵封在皮夾或抽屜的某個角落，似乎不會再去用它，殊不知這些名片裏蘊含了寶貴的數學訊息，十分值得我們去探討與研究。
近年來由於科技日新月異，個人化及客製化的名片更是層出不窮，樣式與大小琳琅滿目。然而傳統規格的名片(如圖1)仍是最常見也最易獲得，不知讀者是否曾經研究過傳統名片長比寬的比值？
傳統名片紙最常見的長寬比為黃金比例 
（此種長方形稱為黃金矩形，參見附錄一與附錄二），其次為費氏數列前後項的比值；實際上，當費氏數列的項數愈大，其前後項的比值也會愈接近黃金比例，是故兩者的比例仍有其關聯性。
要如何確認名片的長寬規格是否為黃金矩形呢？根據黃金比例的值，我們可以透過摺紙，利用以下的幾個步驟完成證明：
1. 取一張常用尺寸的名片紙（不妨多加比照不同商家的名片，取得出現頻率最高者），摺出長邊的中線：(如圖2)
2. 長邊的一半 
摺至中線後還原：（如下圖3）
3. 摺出第2.步驟於短邊上產生的點C與底邊另一端點D的連線 
：（如圖4）
4. 將 
與 對齊，摺出∠BCD的角平分線：（如圖5->圖6）
5. 將 
與 對齊，摺出∠CDE的角平分線：（如圖7->圖8）
奇妙的結果發生了！透過以上幾個簡單的步驟，我們居然讓原矩形右下角的B點與左上角的E點重合，想想看這告訴我們什麼結論呢？
請見圖9，若假設名片紙的長為，因為我們摺出中線與等腰直角△ABC，故 
。
根據將∠B摺至 的動作與勾股定理的計算， ， 
，故 
(如圖10)
將∠B與∠E攤開還原，則我們可以看到原始名片的長寬為 
（如圖11），也就是名片紙長比寬的比值為黃金比例。
是不是很特別呢？事實上，根據黃金比例最原始的定義，我們還有另一種更簡單的摺紙方式可以證明它，只是這一次需要有兩張黃金矩形的名片與一把剪刀：
1. 將第一張名片的寬邊 摺至 上，產生等腰直角△CDE（如圖12->圖13）
2. 沿著 將矩形ABDE剪下，旋轉90度後與第二張名片對齊左上角（如圖14->圖15）；
3. 分別摺出大小兩個矩形的對角線，發現兩個矩形的對角線會重合！（如圖16）
因為只要證明長寬比，為了方便起見，這次我們假設原名片的長為X，寬為1，則依裁下後的矩形與原矩形相似（因對角線會對齊），對照圖17，故可列式得： 
即大長方形的長寬比＝小長方形的長寬比，依比例式乘積可得 
，依公式解可計算出 
（負不合），即原矩形的長寬比為黃金比例。
第二種方式的摺法較簡單，不過因為牽涉到一元二次方程式公式解的運算，故計算的過程較為複雜。事實上，根據黃金比例的定義（可參考附錄二），在我們發現大小兩個矩形對角線重合構成相似後，原矩形的長寬比即為黃金比例；至於第一種摺法雖然較複雜，不過使用的計算則是根據商高定理(勾股定理)與簡易的根式運算。
故以上的兩種摺紙與證明方式，都可以讓讀者在國中八年級上學期（第3冊）學完相關課程後，再行補充作相關了解與應用。
討論完名片紙的長寬比後，讀者不妨檢驗一下手上的名片紙，看看它們的長寬比為多少了（附帶提到一點，圖1中有一張名片的長寬比不是黃金比例，不曉得您看得出來是哪一張嗎？）。至於蒐集來的名片紙要如何進一步的設計運用呢？筆者曾將此課程納入本校的社團課程活動，結果學生自行設計出豐碩的成果展（如圖18、圖19）。也曾在新北市立秀峰高中國中部的數學教師專業成長研習中，分享相關的數學操作與指導經驗，詳細內容將於下一篇文章中介紹。
備註
本文章相關教學簡報，已放置於林中藝數殿堂：http://163.20.9.8/dyna/menu/ index.php?account=math中，歡迎有興趣使用的讀者自行下載運用，並請寫信再與我互動。該簡報所繪製使用的軟體為交大陳明璋教授與AMA團隊自行研發的AMA程式集，外掛於PowerPoint軟體中，敬請參閱http://ama.nctu.edu.tw/。
《附錄一》名片紙黃金比例說明網址：
1. 設計-黃金比例@索尼與香蕉王的紅燈人生痞客邦PIXNET：http://sony1708. pixnet.net/blog/post/24488522
2. 印刷昶,icashprint!痞客邦PIXNET：http://icashprint.pixnet.net/blog
3. 好文设计的黄金比例(A4、名片尺寸比例) - Web Design & Development - 香港硅谷：http://www.hksilicon.com/kb/ cn/articles/2604/A4?mobi=true#
《附錄二》黃金比例相關介紹：
關於黃金比例的說明、計算、參考資料等連結，建議讀者不妨可參考建國中學知識充電站的說明與推導方式，網址為：http://lib.ck.tp.edu.tw/monthly_theme/0610/0610index.htm
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