【大宇宙小故事】22 不假外求
撰文｜葉李華
公元1884年，一位英國教師以「方塊」為筆名，寫了一本寓意深遠的數學科幻小說，書名叫《平面國度》(Flatland)。在那個虛構的二維世界裡，萬事萬物都沒有厚度或高度，包括生物在內。有趣的是，那些生物不但有智慧，還有性別之分，男性是各種多邊形，女性則一律是直線，這樣的安排想必讓佛洛伊德的門徒失望了。
這個故事至少有兩個續集，書名分別是《球面國度》(Sphereland, 1965)與《更平的國度》(Flatterland, 2001)，不過作者當然另有其人。
我自己在看這個故事的時候，不禁想到一個耐人尋味的問題：那些二維智慧生物能否發展出(歐氏)平面幾何學？這個問題和《平面國度》並沒有直接關係，即使你對那本書完全陌生，也請放心繼續讀下去。
答案是，只要他們足夠聰明，一定能發展出完整的平面幾何學。換句話說，那些智慧生物唯一的限制，就是他們自己的智商。原因很簡單，平面幾何是一門自給自足、不假外求的學問；在研究這門學問的時候，完全不必用到其他的空間或維度。
舉例來說，「輔助線」是平面幾何的常客，而輔助線當然要畫在同一個平面上。至於作圖題，則是在平面上畫出直線或圓，和其他維度沒有任何關係──倘若你硬要說圓規是立體的，那就是抬槓了。
因此，用現代數學語言來說，平面幾何是一種「內蘊幾何」(intrinsic geometry)。
●平起不平坐
相較之下，球面幾何學就不太一樣。
早在古希臘時代，球面幾何和平面幾何的重要性就不相上下。因為地球表面是球面，而天球也是球面，所以古希臘學者對這門學問相當重視，累積了許多重要的成果。
球面本身是二維空間，但必須由三維空間來容納。因此之故，古希臘學者雖然重視球面幾何，內心深處卻認為它是立體幾何的藩屬，並非一門獨立的幾何學。就這個觀點而言，球面幾何就不能和平面幾何等量齊觀。換言之，在古希臘學者眼中，球面幾何不能算是「內蘊幾何」，而是和它針鋒相對的「外求幾何」(extrinsic geometry)。
為了避免越說越抽象，趕緊來講個實際的例子。
我們曾在＜平的還是圓的＞這篇文章中，討論過古希臘人如何知曉地球的形狀。但若仔細推敲，他們所用的方法都牽涉到外在空間，沒有任何例外。
天文法(根據月食的陰影或恆星的位置)自然不在話下，至於另外幾個方法，同樣必須引進外在空間。
1.航行在大海中的船隻，如果駛近某座島嶼，船員一定先看到島上的山峰，然後整座山才會慢慢「浮現」。
說明：既然是山峰，一定高於海平面，因此位於「二維地球」之外。
2.航行中，船長常會派一名水手爬上桅杆，如果附近出現船隻或陸地，一定是這名水手最先發現。
說明：如果我們將帆船視為緊貼地表，桅杆就一定高於海平面。
3.如果你站在海邊目送船隻離去，會覺得那艘船是逐漸消失的；當船身被地平線吞沒時，船桅和船帆仍舊依稀可見。(原因同上)
●知易行難
然而，有沒有任何「不假外求」的方法，能夠確定世界不是平的呢？或者換個方式來說，如果我們身邊真有二維智慧生物，他們有沒有辦法確定地球並非一個平面？
當然有，而且方法不只一種，不過由於地球太大而弧度太小，這些方法一律說來容易做來難，但至少理論上是可行的。
方法一：在地球表面畫一個圓，然後測量它的「圓周率」。
在平面幾何中，圓周的長度是半徑的2π倍(其實這是π的定義)。但是，請想像你在北極釘下一根木樁，然後以這根木樁為圓心，用一條繩子當半徑，在地表畫出一個圓形，那麼你就會發現，圓周和半徑的比值一定小於2π，因此「圓周率」小於π。
如果你覺得有點難以想像，教你一個訣竅：把那個圓盡量擴大，例如變成赤道，這時圓周剛好是「半徑」的四倍，因此「圓周率」等於二(果然小於π)。這樣是不是比較清楚了？
方法二：在地球表面畫一個三角形，然後測量它的內角和。
如果這個方法讓你聯想到高斯的事蹟，抱歉，那是錯誤聯想。
高斯當年所測量的大三角形，三個頂點位於三座山的山頂，三個邊則是飄浮在空中的光線(請參考＜歐幾里得與世界大戰＞)。這裡所討論的三角形則是緊貼地面，所以它的操作型定義是：釘下三根木樁，然後用繩子在木樁之間拉出邊界(因此繩子必須拉緊，不能有任何鬆弛)。
這些緊繃且緊貼地面的繩子，學名叫作「測地線」或「(最)短程線」。雖然它們其實是曲線，但由於地球表面並沒有真正的直線，因此可將這些曲線視為「球面上的直線」。
地球上的每一條經線都是測地線，但緯線則不然──除了赤道其他都不是。如果你一時難以接受，再教你一個訣竅：請想想，北極附近的經緯線看起來像不像蜘蛛網？而在這個蜘蛛網中，是不是只有經線類似直線？
順帶一提，在地球表面，你不可能畫出比赤道更大的圓形，所以我們稱它為「大圓」，相較之下其他緯圈都是「小圓」。如果把赤道轉九十度，它就會通過南北極，也就是跟某些經線重合，這就意味著經線也是大圓(的一部分)。因此我們歸納出一個結論：球面上的測地線皆為所謂的「大圓」。
接下來，請想像那三根木樁，一個釘在北極，兩個釘在赤道(相隔多少經度都可以)。這樣的一個「等腰三角形」，三邊分別由經線和赤道組成，所以內角和一定大於180度──因為經線和赤道垂直，其中兩個內角加起來已經等於180度。
總而言之，我們完全不必借用其他空間，就能確定地球表面的「圓周率」小於π，而且三角形的內角和大於180度，這些都是地球並非平面的鐵證。因此，二維生物絕對能用自給自足的方式，確定這個世界到底是不是平面。(若想確定它是球面，還需要做進一步的測量與計算。)
●姍姍來遲
外求幾何學的傳統從古希臘一直延續到十八世紀，當時的幾何學早已進步到與微積分結合，亦即所謂的「微分幾何」，可是仍舊沒有人挑戰這個古典觀點。
我們在＜誰是受害者＞這篇文章中曾經強調，若要研究變來變去的速度，微分是不可或缺的工具。同理，想要研究蜿蜒曲折的幾何形體，解析幾何本身力有未逮，必須和微積分聯手才行。
早期的微分幾何主要以曲線和曲面為研究對象。這些理論都是歐陸數學家發展的，換言之牛頓的祖國交了白卷，而這當然也是「微積分大戰」的貽禍。
由於曲線只有一維，不可能發展出內蘊幾何(你若是一維世界的生物，絕對無法分辨你的世界是直線還是拋物線)，所以我們表過就算。至於曲面理論，則猶如兩位大數學家的接力賽，值得好好談一談。
第一棒是瑞士籍的歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783)，第二棒是德國的高斯(Carl F. Gauss, 1777-1855)，相信大家對他們都不陌生。
歐拉用「外求法」研究曲面，花了十多年的時間，於1760年大功告成(一說63年)，但遲至1767年才正式發表。
高斯同樣是以「外求法」切入這個領域，但在研究過程中，他逐漸摸索出「內外兼修」的法門，終於發現了微分幾何中第一個內蘊定理，時間是公元1827年。
高斯認為這個發現精采絕倫，因此在以拉丁文寫成的論文中，他忍不住用Egregium來形容這個定理。由於這個有趣的典故，後世數學家索性稱之為「絕妙定理」(Theorema Egregium)。
絕妙定理雖然有點深奧，但大可用如下方式理解：我們已經知道「球面上的二維生物有辦法確定自己生活在球面上」，絕妙定理則將這個結論推廣成「任何曲面上的二維生物都有辦法確定自己生活在曲面上，而且能用不假外求的方法測量出各處的彎曲程度，也就是所謂的曲率」。
這個定理為微分幾何指出一個新方向，可惜的是高斯並未乘勝追擊，因此絕妙定理就是他在這個領域的最高成就了──或許這就是所謂的「一代人只能做一代人的事」。
幸好多年後，嚴格說來是高斯生命中的最後一年，他的愛徒黎曼(Bernhard Riemann, 1826-1866)勇敢地接下第三棒。
