【大宇宙小故事】06 一字之差
撰文｜葉李華
定理(theorem)與定律(law)這兩個名詞雖然只差一個字，意義卻是天差地遠。如果沒有英文可供對照，我們要如何自立自強呢？
●可以不可以
先介紹一個口訣：「定理可以證明，定律可以推翻」。當然你也能反過來說：「定理不可推翻，定律不可證明。」
定理為何可以證明？因為它是一種邏輯結構，所以能用邏輯推導出來，而推導的過程就是所謂的證明。例如歐幾里得在兩千多年前，就用歸謬法證明出「質數有無限多」這個定理。
定理為何不可推翻？因為邏輯中的對錯是絕對的，一旦被證明是對的，就一定不會錯了(所以千萬別試著用任何方法尋找「最大的質數」)。
定律為何不可證明？因為定律是根據自然現象歸納出的大致規律，並非邏輯推導出的結果。例如「凡哺乳類皆為胎生」就曾經是生物學家歸納出的定律。
定律為何可以推翻？因為歸納法所得到的結果都可能有漏洞，只要出現一個漏洞或反例，這個定律就被推翻了(十八世紀末才被發現的「針鼴」與「鴨嘴獸」便是上述定律的反例)。
接下來請大家想想，「地球是圓的」這個敘述是定理還是定律？
如果你說是定理(因為已被麥哲倫的船隊證明)，抱歉你答錯了。但如果你說是定律(因為它是自然現象)，很抱歉，還是答錯了！
正確答案是：它既非定理也並非定律，只能算是一件獨立的「事實」。
麥哲倫的船隊的確證明了地球是圓的，但他們所用的方法不是邏輯，而是實作，所以其實應該說他們是驗證了這項事實。同理，如果律師在法庭上證明某人無罪，他也只是澄清了一件事實，而不是證明出一個定理。
至於為何一直強調「麥哲倫的船隊」，則是因為麥哲倫本人並未完成環繞地球的壯舉。正所謂壯志未酬身先死，公元1521年，他於航行途中在菲律賓遭原住民殺害，好在他的船員替他完成遺願，從菲律賓沿印度洋返回歐洲，麥哲倫才得以名留青史。
●從事實到定律
如果我們將「地球是圓的」擴充成「行星是圓的」，這樣的一般性論述才算是定律。而既然是定律，就不可能證明了。
若想用實作來證明「行星是圓的」，你必須把宇宙中所有的行星都檢查一遍，那當然是不可能的事──即使理論上也不可能，因為別人永遠可以質疑：你如何確定沒有漏網之魚？
反之，「行星是圓的」這個定律不但有可能被推翻，事實上已經被推翻了。因為天文學家早就觀測到，太陽系中的「微型行星」(minor planet, 小行星為其中的一支)有許多都不是圓的。既然有反例，這個定律當然無法成立了。
如果你認為微型行星太小，應當排除在外，於是稍加修改這個定律，將它改成「夠大的行星都是圓的」，那麼恭喜恭喜，你終於得到一個定律，因為天文學家至今仍未找到任何反例。不過，我們也只能說這個定律很可靠，絕對不能說它是正確的。
請務必記住，世上根本沒有「正確的定律」，正如同沒有「錯誤的定理」。
萬一你在某處讀到「這個定理後來被證明是錯的」，其實作者真正的意思是「這個猜想後來被證明是錯的」。因為尚未證明的論述根本不是定理，只能稱為猜想或猜測。
這方面的例子不算少，最有名的應該是數學中的「哥德巴赫猜想」。可別以為它有多麼深奧，恰恰相反，連小學生都看得懂！
哥德巴赫猜想的內容如下：任何大於二的偶數，都能寫成兩個質數之和。例如 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5...
雖然內容簡單無比，可是自從哥德巴赫於1742年提出這個猜想，至今沒有任何人想出正確的證明。另一方面，也沒有人敢說這個猜想不對，因為直到目前為止，誰也找不到一個反例。
千萬別以為數學家不夠努力，他們已經用電腦找遍了四百萬兆(4×1018)以下的偶數，沒有發現任何例外！
不過，這個猜想的前提是「任何大於二的偶數」，所以無論你找出多少正確的例子，也只能算是「佐證」，只能增加數學家的信心，並不能讓它升級為定理。
就某方面而言，哥德巴赫猜想和「夠大的行星都是圓的」這個定律相當類似。不同的是，前者有可能終有一天得到證明，後者則永無可能！
在此順便為哥德巴赫(Christian Goldbach, 1690-1764)這位數學家平反一下。有不少人以為除了這個猜想，哥德巴赫在數學上毫無建樹，甚至有人說他根本不是數學家，這些都是(網路出現前)以訛傳訛的謠言。
該講的差不多講完了，讓我們把重點再整理一遍：
事實可以用實作來證明。實作的範圍很廣，包括實驗、觀測、探勘、調查……
定理可以用邏輯來證明，尚未證明的「定理」其實應該稱為猜想。
定律可以藉由漏洞或反例來推翻。
定律可以藉由驗證增加其可信度，但無論通過多少次驗證，都不能稱之為「正確的」。
●特殊案例
天文學中的克卜勒三大定律，其實早就該改名字了。這三個規律雖然是克卜勒根據天文觀測結果歸納出來的，可是後來牛頓發現，只要以(更基本且適用性更廣的)萬有引力定律為出發點，配合第二運動定律，就能用數學推導出這三個規律。
因此最正確的說法是：
在萬有引力定律問世之前，這三個規律的確是「克卜勒三大定律」。
在萬有引力定律問世之後，這三個規律變成了「克卜勒三大定理」。
兩百多年後，歷史竟然又重演了一次。因為愛因斯坦發現，只要以(更基本且適用性更廣的)廣義相對論為出發點，就能用數學推導出萬有引力定律。
至於歷史還會不會再度重演，就讓我們拭目以待吧。
註：數學的研究對象是邏輯結構而不是自然現象，因此數學中只有「定理」，絕對沒有任何「定律」。至於「正弦定律」、「餘弦定律」和「正切定律」(law of sines, cosines, tangents)這三個名詞則是積非成是的結果，其實都應該正名為「定理」。