【探索25-2】連結科學與藝術──樂器與歌唱背後的物理
形形色色、大小不一的樂器，是如何發聲、演奏出美妙的音樂？而看似張口便能做到的歌唱，背後究竟又牽涉什麼複雜的原理呢？受過物理學與音樂研究訓練的蔡振家老師，透過多年的探索經驗，和觀眾分享物理學家是如何探究「音樂」這個看似和科學截然不同的領域，讓我們在欣賞悠揚樂聲的同時，也能持續思索科學與藝術間的連結與奧秘。
講者／臺灣大學音樂學研究所副教授 蔡振家
彙整撰文／呂方雯
●音色與音高的知覺
變化萬千的音色，讓我們能夠辨認不同樂器、甚至是特定朋友的聲音。決定音色的因素主要有兩個，一是聲波的時間包絡（temporal envelope），這是屬於時域（time domain）的資訊，二是聲波的頻譜成分（spectral component），這是屬於頻域（frequency domain）的資訊。關於後者，研究者常常使用頻譜圖（spectrum）來分析聲音，頻譜圖的橫軸為頻率，縱軸為強度。頻譜圖讓人能解析聲音的頻譜成分，「看見」聲音的眾多樣貌。
音高的知覺有兩個面向，包括音高的「高度」與清晰程度。音高的「高度」指的是週期性聲波的頻率，為週期的倒數，而透過傅立葉轉換（Fourier transform），能將週期波分解為許多頻率成整數比的諧波，其中第一諧音（first harmonic）也是所謂的基音（fundamental）。雖然基音的頻率決定音高，但即使基音消失，人們依然能正確知覺音高。另一方面，如果聲音中包含頻率嚴重偏離整數比的非諧泛音（inharmonic overtone），或是當聲波的週期性不完美時，音高清晰度會偏低，讓聽眾不太確定該聲音的音高。
●令人著迷的「自激震盪」
了解聲音知覺的基本原理後，樂器又是怎麼利用這些原理，發出音高清晰的美妙樂音呢？以弦樂器來說，主要可以分為能量輸入、主要共振體（primary resonator）和聲波發射體（acoustic radiator）等三部分。小提琴的演奏，便是樂手以琴弓摩擦琴弦，將能量輸入到琴弦這個主要共振體中，使它持續做週期性振動，並透過琴板的將樂音發射出去。
像小提琴這樣的擦弦樂器，其實也是一種自我激發震盪系統（self-excited oscillator），因為外界只要給予穩定的弓速，系統便會找個頻率持續振動。這樣的自激震盪（self-oscillation）現象，一直到十九世紀才受到科學家們的注意，其實除了樂器，在時鐘、聲帶、心臟中都有它的身影。此外，自激震盪在金融和宏觀經濟學中也有一些相關的應用。
自激震盪包含一些有趣的概念。在自我激發震盪系統中，不僅能量輸入造成了振動，振動還會回過頭來影響能量輸入。具體而言，振動體所受的外力跟振動相位有關，當外力跟振動方向有段同相（in phase）的時間，此際能量便會輸入。與此有關的另一個概念是阻尼（damping）。我們比較熟悉的是正阻尼，例如吉他的悶音，是讓琴弦在震動時有較多的能量耗損，此時正阻尼較大；相反的，在前述拉小提琴的例子，弓拖著絃運動，輸入能量的現象則相當於負阻尼，這會造成振幅遞增，直到非線性效應限制振幅，才形成穩定的週期震盪。
如果細究樂器的真實性質，我們會赫然發現，有些看似理所當然的現象，背後其實有更深的原理。例如高中課本提到「聲音形成駐波，其頻率最低者稱為基音，頻率高者稱為泛音」，其實這段描述較適用於理想的管樂器，至於真實的空氣柱與琴弦上的駐波，其頻率並沒有呈整數比。重點是，當管樂器與擦弦樂器成了非線性自我激發震盪系統，發出聲音，其個別泛音並不會一一對應到駐波。從動態系統理論（dynamical systems theory）來看，管樂器與擦弦樂器之所以發出週期性聲波（諧音頻率呈整數比），主要是因為其振動的吸子（attractor）是極限環（limit cycle），跟駐波未必有關。
●聲帶與歌聲的複雜世界
人的聲帶能夠發出週期性聲波，這個現象就跟駐波完全無關。聲帶的結構相當複雜，分為上皮、飽含水分的Reinke’s space、聲帶韌帶、聲帶肌等數層，這樣的設計不僅讓聲帶的淺層和深層有不同的物理性質，也有助減少能量損耗與組織傷害。為了理解聲帶振動，過去學者提出活塞與水波兩種模型，活塞模型推測，聲帶深層應該是水平運動，而水波模型則推測，聲帶深層進行垂直運動。一直到研究者用醫學超音波進行檢測、發現聲帶深層進行垂直運動後，水波模型的論點才逐漸被接受。
飽含水分、震動近似水波的聲帶，是怎麼保水的呢？聲帶其實是透過常在保養品廣告中出現的玻尿酸（hyaluronic acid）來維持水分。在缺乏水分時，聲帶的振幅會變小，導致氣音變多。
在嗓音的研究中，一個未解的重要謎題是喉音唱法（throat singing），對音樂相當有熱忱的物理學家費曼，便對圖瓦共和國的喉音唱法「呼麥」深感興趣。喉音歌手藉由加強特定諧音的方式，可以同時產生兩個音高，其中較低的音高是不變的低音，也就是該聲音的基頻，而較高的音高則來自某個被加強的諧音。當喉音歌手依序加強不同諧音時，便能產生高音旋律。在一個歌聲中，某個被加強的諧音之所以能夠產生清晰的音高，是因為它在頻譜圖上「鶴立雞群」，比相鄰諧音強12分貝以上。
B. Story 等學者於2020年發表論文，試著用聲道濾波模型來解釋喉音唱法，但仍無法說明為什麼能有一個諧音特別突出（比相鄰諧音強12分貝以上）。蔡振家老師從咽喉的電腦斷層資料以及狗的4000 Hz高頻音推測，或許咽喉的漩渦（vortex）能夠成為另一個聲音來源，讓歌聲中的某個諧音特別突出。
雖然目前有不少人關注音樂的物理，但仍有一些現象至今成謎，這也是未來研究者可以努力的方向。