【探索25-2】連結科學與藝術──樂器與歌唱背後的物理

形形色色、大小不一的樂器,是如何發聲、演奏出美妙的音樂?而看似張口便能做到的歌唱,背後究竟又牽涉什麼複雜的原理呢?受過物理學與音樂研究訓練的蔡振家老師,透過多年的探索經驗,和觀眾分享物理學家是如何探究「音樂」這個看似和科學截然不同的領域,讓我們在欣賞悠揚樂聲的同時,也能持續思索科學與藝術間的連結與奧秘。

講者/臺灣大學音樂學研究所副教授 蔡振家
彙整撰文/呂方雯

●音色與音高的知覺

變化萬千的音色,讓我們能夠辨認不同樂器、甚至是特定朋友的聲音。決定音色的因素主要有兩個,一是聲波的時間包絡(temporal envelope),這是屬於時域(time domain)的資訊,二是聲波的頻譜成分(spectral component),這是屬於頻域(frequency domain)的資訊。關於後者,研究者常常使用頻譜圖(spectrum)來分析聲音,頻譜圖的橫軸為頻率,縱軸為強度。頻譜圖讓人能解析聲音的頻譜成分,「看見」聲音的眾多樣貌。

音高的知覺有兩個面向,包括音高的「高度」與清晰程度。音高的「高度」指的是週期性聲波的頻率,為週期的倒數,而透過傅立葉轉換(Fourier transform),能將週期波分解為許多頻率成整數比的諧波,其中第一諧音(first harmonic)也是所謂的基音(fundamental)。雖然基音的頻率決定音高,但即使基音消失,人們依然能正確知覺音高。另一方面,如果聲音中包含頻率嚴重偏離整數比的非諧泛音(inharmonic overtone),或是當聲波的週期性不完美時,音高清晰度會偏低,讓聽眾不太確定該聲音的音高。

●令人著迷的「自激震盪」

了解聲音知覺的基本原理後,樂器又是怎麼利用這些原理,發出音高清晰的美妙樂音呢?以弦樂器來說,主要可以分為能量輸入、主要共振體(primary resonator)和聲波發射體(acoustic radiator)等三部分。小提琴的演奏,便是樂手以琴弓摩擦琴弦,將能量輸入到琴弦這個主要共振體中,使它持續做週期性振動,並透過琴板的將樂音發射出去。

像小提琴這樣的擦弦樂器,其實也是一種自我激發震盪系統(self-excited oscillator),因為外界只要給予穩定的弓速,系統便會找個頻率持續振動。這樣的自激震盪(self-oscillation)現象,一直到十九世紀才受到科學家們的注意,其實除了樂器,在時鐘、聲帶、心臟中都有它的身影。此外,自激震盪在金融和宏觀經濟學中也有一些相關的應用。

自激震盪包含一些有趣的概念。在自我激發震盪系統中,不僅能量輸入造成了振動,振動還會回過頭來影響能量輸入。具體而言,振動體所受的外力跟振動相位有關,當外力跟振動方向有段同相(in phase)的時間,此際能量便會輸入。與此有關的另一個概念是阻尼(damping)。我們比較熟悉的是正阻尼,例如吉他的悶音,是讓琴弦在震動時有較多的能量耗損,此時正阻尼較大;相反的,在前述拉小提琴的例子,弓拖著絃運動,輸入能量的現象則相當於負阻尼,這會造成振幅遞增,直到非線性效應限制振幅,才形成穩定的週期震盪。

如果細究樂器的真實性質,我們會赫然發現,有些看似理所當然的現象,背後其實有更深的原理。例如高中課本提到「聲音形成駐波,其頻率最低者稱為基音,頻率高者稱為泛音」,其實這段描述較適用於理想的管樂器,至於真實的空氣柱與琴弦上的駐波,其頻率並沒有呈整數比。重點是,當管樂器與擦弦樂器成了非線性自我激發震盪系統,發出聲音,其個別泛音並不會一一對應到駐波。從動態系統理論(dynamical systems theory)來看,管樂器與擦弦樂器之所以發出週期性聲波(諧音頻率呈整數比),主要是因為其振動的吸子(attractor)是極限環(limit cycle),跟駐波未必有關。

●聲帶與歌聲的複雜世界

人的聲帶能夠發出週期性聲波,這個現象就跟駐波完全無關。聲帶的結構相當複雜,分為上皮、飽含水分的Reinke’s space、聲帶韌帶、聲帶肌等數層,這樣的設計不僅讓聲帶的淺層和深層有不同的物理性質,也有助減少能量損耗與組織傷害。為了理解聲帶振動,過去學者提出活塞與水波兩種模型,活塞模型推測,聲帶深層應該是水平運動,而水波模型則推測,聲帶深層進行垂直運動。一直到研究者用醫學超音波進行檢測、發現聲帶深層進行垂直運動後,水波模型的論點才逐漸被接受。

飽含水分、震動近似水波的聲帶,是怎麼保水的呢?聲帶其實是透過常在保養品廣告中出現的玻尿酸(hyaluronic acid)來維持水分。在缺乏水分時,聲帶的振幅會變小,導致氣音變多。

在嗓音的研究中,一個未解的重要謎題是喉音唱法(throat singing),對音樂相當有熱忱的物理學家費曼,便對圖瓦共和國的喉音唱法「呼麥」深感興趣。喉音歌手藉由加強特定諧音的方式,可以同時產生兩個音高,其中較低的音高是不變的低音,也就是該聲音的基頻,而較高的音高則來自某個被加強的諧音。當喉音歌手依序加強不同諧音時,便能產生高音旋律。在一個歌聲中,某個被加強的諧音之所以能夠產生清晰的音高,是因為它在頻譜圖上「鶴立雞群」,比相鄰諧音強12分貝以上。

B. Story 等學者於2020年發表論文,試著用聲道濾波模型來解釋喉音唱法,但仍無法說明為什麼能有一個諧音特別突出(比相鄰諧音強12分貝以上)。蔡振家老師從咽喉的電腦斷層資料以及狗的4000 Hz高頻音推測,或許咽喉的漩渦(vortex)能夠成為另一個聲音來源,讓歌聲中的某個諧音特別突出。

雖然目前有不少人關注音樂的物理,但仍有一些現象至今成謎,這也是未來研究者可以努力的方向。

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