【科學史沙龍】祖沖之測算冬至時刻

■人類科學的發展，是先有天文，而後因為需要再衍生出數學跟物理。身兼天文學家與數學家的祖沖之，用了什麼樣的數學技巧，解決測算精確冬至時刻的天文問題？

講者｜臺灣大學數學系 張海潮教授
撰文｜高英哲

我們知道由於地球與其環繞太陽的軌道，有個大約 23.5 度的傾角，因此導致一年當中，每天的晝夜時間有長短變化。其中白天最短的那天定為冬至，最長的那天定為夏至，晝夜時間長短相等的日子，則定為春分跟秋分。中國早在商朝就已經定出這二分二至，不過由於當初他們對春分跟秋分的掌握度並沒有很好，因此傳統上是以冬至做為一年之始。

二分二至定出來之後，古人以此為基礎，進而發展出二十四節氣，反映四季中更細微的氣候變化。由於這是中國自古傳下的曆法，人們經常先入為主，以為節氣是陰曆的設計，其實節氣是根據太陽運行的規律制定而成，用現代天文學的說法，就是對應太陽在黃道上每運動 15 度所到達的位置，徹頭徹尾是屬於陽曆的概念。中國曆法是陰陽合曆，你若把月曆上的陽曆日子全部遮起來，看到初一十五那是陰曆，而每隔一段時間標示的節氣就是陽曆。

中國古代測算二分二至的方法，用的是「立竿見影法」，夏至正午的竿影極短，冬至正午的竿影則極長。早在周代就有記載，在洛陽立起表高八尺的竿子，夏至晷長 16 寸，冬至晷長 135 寸。然而立竿見影法有個實務上的問題，就是晷長最長或最短的時刻，不一定正好落在測量當地的正午時分；反映在測量結果上，就會出現晷長最長的冬至當天，前後各一天所測量到的晷長不一樣的現象。

祖沖之如何測算出每年精確的冬至時刻呢？說來也簡單，由於竿影變化是成比例的，只要把這三天的晷長並列畫出來，先從最短的那條晷長頂端，畫一條通過冬至當天測得晷長頂端的延長線，然後再從另一條晷長的頂端，反方向畫一條相同斜率的線，兩條線的交會處就是「真正」的冬至時刻晷長。接下來再推算真正的冬至時刻，只需要應用線性內插法，一個簡單的除式就可得到，易如反掌。

這個方法的數學原理非常簡單，只需要基本的相似形概念，拿根尺就可以求得答案。祖沖之厲害的地方，在於他想到利用這個方法，每年都能夠找到精確的冬至時刻；累積了多年資料之後，就可以確定太陽在黃道上運行回到同一個點的「回歸年」（從冬至到冬至，中國稱為「歲實」），真正的長度是多久，也確實找到了答案： 365.2428 日。