【科學史沙龍】祖沖之測算冬至時刻

■人類科學的發展,是先有天文,而後因為需要再衍生出數學跟物理。身兼天文學家與數學家的祖沖之,用了什麼樣的數學技巧,解決測算精確冬至時刻的天文問題?

講者|臺灣大學數學系 張海潮教授
撰文|高英哲

我們知道由於地球與其環繞太陽的軌道,有個大約 23.5 度的傾角,因此導致一年當中,每天的晝夜時間有長短變化。其中白天最短的那天定為冬至,最長的那天定為夏至,晝夜時間長短相等的日子,則定為春分跟秋分。中國早在商朝就已經定出這二分二至,不過由於當初他們對春分跟秋分的掌握度並沒有很好,因此傳統上是以冬至做為一年之始。

二分二至定出來之後,古人以此為基礎,進而發展出二十四節氣,反映四季中更細微的氣候變化。由於這是中國自古傳下的曆法,人們經常先入為主,以為節氣是陰曆的設計,其實節氣是根據太陽運行的規律制定而成,用現代天文學的說法,就是對應太陽在黃道上每運動 15 度所到達的位置,徹頭徹尾是屬於陽曆的概念。中國曆法是陰陽合曆,你若把月曆上的陽曆日子全部遮起來,看到初一十五那是陰曆,而每隔一段時間標示的節氣就是陽曆。

中國古代測算二分二至的方法,用的是「立竿見影法」,夏至正午的竿影極短,冬至正午的竿影則極長。早在周代就有記載,在洛陽立起表高八尺的竿子,夏至晷長 16 寸,冬至晷長 135 寸。然而立竿見影法有個實務上的問題,就是晷長最長或最短的時刻,不一定正好落在測量當地的正午時分;反映在測量結果上,就會出現晷長最長的冬至當天,前後各一天所測量到的晷長不一樣的現象。

祖沖之如何測算出每年精確的冬至時刻呢?說來也簡單,由於竿影變化是成比例的,只要把這三天的晷長並列畫出來,先從最短的那條晷長頂端,畫一條通過冬至當天測得晷長頂端的延長線,然後再從另一條晷長的頂端,反方向畫一條相同斜率的線,兩條線的交會處就是「真正」的冬至時刻晷長。接下來再推算真正的冬至時刻,只需要應用線性內插法,一個簡單的除式就可得到,易如反掌。

這個方法的數學原理非常簡單,只需要基本的相似形概念,拿根尺就可以求得答案。祖沖之厲害的地方,在於他想到利用這個方法,每年都能夠找到精確的冬至時刻;累積了多年資料之後,就可以確定太陽在黃道上運行回到同一個點的「回歸年」(從冬至到冬至,中國稱為「歲實」),真正的長度是多久,也確實找到了答案: 365.2428 日。

 

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