【知識通訊】天籟之音的幾何結構

■ 美麗樂音居然可以用幾何對稱性來描述，豈不妙哉？

莫札特鋼琴奏鳴曲，對大多數人來說，是接連不斷串成的優美音符，但對身為音樂理論學者暨作曲家的普林斯頓大學教授提摩科茲可（Dmitri Tymoczko）及其研究同儕而言，它是一趟在多維空間中，可以用幾何學及對稱性語言表達的旅程。

提摩科茲可等三人，二○○八年在《科學》雜誌上發表文章，指出無論是歌劇作曲家蒙台威爾第（Monteverdi）或重金屬樂團機車頭 （Motörhead）的音樂，皆有支配音高聲響（不同於敲擊樂器的無音高聲響）的方法。

賓州費城聖約瑟大學數學家霍爾（Rachel Wells Hall）認為，此項發現為音樂理論發展開啟新局，激發作曲家創作新種音樂的靈感，甚至可能開創新樂器的發明。

音樂幾何空間

雖然這個新方法使用到聽起來嚇人的數學，作法卻相當單純。不同群組或序列音符之間可能存在有等價關係，例如Do-Mi-Sol和Re-升Fa- La均為大三和弦，在不同八度音階彈奏Do-Mi-Sol基本上仍視為同一和弦。提摩科茲可與同事卡蘭德（Clifton Callender）及昆恩（Ian Quinn）三人，就試圖用幾何概念，來呈現音樂家耳中的等價音。

作曲原本是透過多到數不清的音符排列組合創作出旋律與和弦進程，但是一旦找出其等價音，創作過程就從多維空間排序，簡化為大為緊密的空間排序。一小群一小群音符構成了不同的「音樂物件」，其彼此之間關係，可以幾何概念將其對應到不同的空間形式，樂曲就像是在這種空間中的往來路徑。

這個觀念聽起來很玄，卻可以解決幾世紀以來作曲家及音樂學家努力克服的問題。研究團隊指出，音樂的詮釋過程會捨棄某些訊息，特定音樂結構才得以組合成型。比方說《彩虹深處》（Somewhere Over the Rainbow）原曲為降E調，若改以G調演奏，音符雖完全不同，但沒有人會認為那是另一首曲子。

聲音轉換

研究人員指出，一般常用五種轉換型態來衡量音樂的等價性，包括八度音階轉換、音符重新排序（例如將Do-Mi-Sol和弦轉位為Mi-Sol- Do）及同音重複（例如在Do-Mi-Sol或Mi-Sol-Do和弦多加一個高音Mi）。等價性得以上述五種型態的其中一個，或是選擇其中幾種組合而成，所以就有三十二種排列組合出的兩個和弦，可以視為是同一個「等價」和弦。

提摩科茲可解釋，此種對稱性巧妙地將音符排列空間「變得緊緻」，雖然這樣的幾何空間依然結構複雜，但是可用數學方法分析且常一下子就可以了解。他指出，坐在鋼琴前觸彈琴鍵，其實是在面對複雜的幾何問題。事實上，十九世紀初期的作曲家已不自覺地採用幾何觀念思考進行音樂創作，只是當時還無法以數學方法解釋這個議題。

在這個幾何緊緻空間中，三音和弦或三音旋律等不同等價音樂物件，均可用空間中的某一點來表示。例如在描述三音和弦類型的幾何空間（外觀為圓錐形）中，某一點對應著大三和弦，如Do-Mi-Sol和弦，另一點則對應著增三和弦（有些音升半音）。以此類推。

理論的新路

此種音樂分類學對我們而言有什麼用處？研究人員表示，各式各樣的音樂問題均可用幾何語言描述。例如它可以用來衡量不同的音符或和弦排序之間的相似度，以決定是否可視為來自同一音樂靈感的變奏。

提摩科茲可表示，「藉此我們可以找出音樂理論家從未注意到的和弦排序方法相關性」。比方說運用此方法可以觀察出，德布西所譜《牧神的午後》中的一個和弦排序，和早先華格納在《崔斯坦與伊索德前奏曲》所用的一個和弦排序有怎樣的關連性，這是用傳統方法分析看不太出來的。

德布西不可能知道，他用的和弦和華格納的作品之間存在有數學關係。但提摩科茲可認為，「隨著作曲家踏入幾何音樂空間進行探索，這樣的關連性一定會浮現出來」。就像登山客最終會發現，連接兩點的所有可能路徑中，只有少數幾條真正可通行一樣，經過實證後音樂家亦將發現，他們的音樂創作可能性也會受到音樂自身內在形式與結構的局限。

提摩科茲可指出，十九世紀初期蕭邦等作曲家，已開始嘗試突破傳統作曲法，用快速便捷手法游移在兩個相近的調上（例如C大調轉成E大調），「然此和聲實驗，在當時音樂理論學者眼中，卻被視為離經叛道。現在看來，蕭邦其實是善用了和弦空間的幾何特性」。

這個新方法，也可用來分析如何將聲部導引技巧（voice leading，即在兩個和聲變換時，以最小移動的方式作和聲導引）運用在和弦進行上。其作法是將一群由相同數量音符組成的和弦，拆解為平行旋律，例如將 Do-Mi-Sol和弦進行到Do-Fa-La和弦的過程，分解為三個部分：即Mi變成Fa，Sol變成La，Do為不變的根音。對於作曲家和音樂理論學者來說，要找出迅速有效的聲部導引模式，原本是一大挑戰。但透過幾何思維，和弦變換就成為音樂空間中距離定義明確兩點間的移動，自然可以找到移動的最佳路徑。

提摩科茲可研究團對深信，這個新理論不僅可用來分析既有音樂作品，更為音樂創作所面臨的問題提供解決之道。

原載於【知識通訊評論月刊六十七期】2008.05.01

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