【知識通訊】天籟之音的幾何結構

■ 美麗樂音居然可以用幾何對稱性來描述,豈不妙哉?

Darcy McCarty@flicker
旋律與轉調:過去被認為是作曲理論的問題,現在發現也可以用數學描述

莫札特鋼琴奏鳴曲,對大多數人來說,是接連不斷串成的優美音符,但對身為音樂理論學者暨作曲家的普林斯頓大學教授提摩科茲可(Dmitri Tymoczko)及其研究同儕而言,它是一趟在多維空間中,可以用幾何學及對稱性語言表達的旅程。

提摩科茲可等三人,二○○八年在《科學》雜誌上發表文章,指出無論是歌劇作曲家蒙台威爾第(Monteverdi)或重金屬樂團機車頭 (Motörhead)的音樂,皆有支配音高聲響(不同於敲擊樂器的無音高聲響)的方法。

賓州費城聖約瑟大學數學家霍爾(Rachel Wells Hall)認為,此項發現為音樂理論發展開啟新局,激發作曲家創作新種音樂的靈感,甚至可能開創新樂器的發明。

音樂幾何空間

Frequency_vs_name(wiki.en)

雖然這個新方法使用到聽起來嚇人的數學,作法卻相當單純。不同群組或序列音符之間可能存在有等價關係,例如Do-Mi-Sol和Re-升Fa- La均為大三和弦,在不同八度音階彈奏Do-Mi-Sol基本上仍視為同一和弦。提摩科茲可與同事卡蘭德(Clifton Callender)及昆恩(Ian Quinn)三人,就試圖用幾何概念,來呈現音樂家耳中的等價音。

作曲原本是透過多到數不清的音符排列組合創作出旋律與和弦進程,但是一旦找出其等價音,創作過程就從多維空間排序,簡化為大為緊密的空間排序。一小群一小群音符構成了不同的「音樂物件」,其彼此之間關係,可以幾何概念將其對應到不同的空間形式,樂曲就像是在這種空間中的往來路徑。

這個觀念聽起來很玄,卻可以解決幾世紀以來作曲家及音樂學家努力克服的問題。研究團隊指出,音樂的詮釋過程會捨棄某些訊息,特定音樂結構才得以組合成型。比方說《彩虹深處》(Somewhere Over the Rainbow)原曲為降E調,若改以G調演奏,音符雖完全不同,但沒有人會認為那是另一首曲子。

圓錐形的音符結構
三音和絃的幾何結構是圓錐形的

聲音轉換

研究人員指出,一般常用五種轉換型態來衡量音樂的等價性,包括八度音階轉換、音符重新排序(例如將Do-Mi-Sol和弦轉位為Mi-Sol- Do)及同音重複(例如在Do-Mi-Sol或Mi-Sol-Do和弦多加一個高音Mi)。等價性得以上述五種型態的其中一個,或是選擇其中幾種組合而成,所以就有三十二種排列組合出的兩個和弦,可以視為是同一個「等價」和弦。

提摩科茲可解釋,此種對稱性巧妙地將音符排列空間「變得緊緻」,雖然這樣的幾何空間依然結構複雜,但是可用數學方法分析且常一下子就可以了解。他指出,坐在鋼琴前觸彈琴鍵,其實是在面對複雜的幾何問題。事實上,十九世紀初期的作曲家已不自覺地採用幾何觀念思考進行音樂創作,只是當時還無法以數學方法解釋這個議題。

在這個幾何緊緻空間中,三音和弦或三音旋律等不同等價音樂物件,均可用空間中的某一點來表示。例如在描述三音和弦類型的幾何空間(外觀為圓錐形)中,某一點對應著大三和弦,如Do-Mi-Sol和弦,另一點則對應著增三和弦(有些音升半音)。以此類推。

理論的新路

此種音樂分類學對我們而言有什麼用處?研究人員表示,各式各樣的音樂問題均可用幾何語言描述。例如它可以用來衡量不同的音符或和弦排序之間的相似度,以決定是否可視為來自同一音樂靈感的變奏。

提摩科茲可表示,「藉此我們可以找出音樂理論家從未注意到的和弦排序方法相關性」。比方說運用此方法可以觀察出,德布西所譜《牧神的午後》中的一個和弦排序,和早先華格納在《崔斯坦與伊索德前奏曲》所用的一個和弦排序有怎樣的關連性,這是用傳統方法分析看不太出來的。

德布西不可能知道,他用的和弦和華格納的作品之間存在有數學關係。但提摩科茲可認為,「隨著作曲家踏入幾何音樂空間進行探索,這樣的關連性一定會浮現出來」。就像登山客最終會發現,連接兩點的所有可能路徑中,只有少數幾條真正可通行一樣,經過實證後音樂家亦將發現,他們的音樂創作可能性也會受到音樂自身內在形式與結構的局限。

提摩科茲可指出,十九世紀初期蕭邦等作曲家,已開始嘗試突破傳統作曲法,用快速便捷手法游移在兩個相近的調上(例如C大調轉成E大調),「然此和聲實驗,在當時音樂理論學者眼中,卻被視為離經叛道。現在看來,蕭邦其實是善用了和弦空間的幾何特性」。

這個新方法,也可用來分析如何將聲部導引技巧(voice leading,即在兩個和聲變換時,以最小移動的方式作和聲導引)運用在和弦進行上。其作法是將一群由相同數量音符組成的和弦,拆解為平行旋律,例如將 Do-Mi-Sol和弦進行到Do-Fa-La和弦的過程,分解為三個部分:即Mi變成Fa,Sol變成La,Do為不變的根音。對於作曲家和音樂理論學者來說,要找出迅速有效的聲部導引模式,原本是一大挑戰。但透過幾何思維,和弦變換就成為音樂空間中距離定義明確兩點間的移動,自然可以找到移動的最佳路徑。

提摩科茲可研究團對深信,這個新理論不僅可用來分析既有音樂作品,更為音樂創作所面臨的問題提供解決之道。

 

原載於【知識通訊評論月刊六十七期】2008.05.01

CASE網誌好讀版 by MissZoe

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4 thoughts on “【知識通訊】天籟之音的幾何結構

  • 2010 年 03 月 26 日 at 14:58:02
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    如果曾有哪一位音樂家作曲時,腦中有過類似的模型,我會異常興奮。因為人類大腦一向善於以pattern分析事物。旋律以曲線掌握就是一例,如果有人能充分掌握一維關係,那麼有人能掌握多維並非不可能,不過需要的mental power必然極為可觀。
    另一個科學的向度是每個音都有對應的能量(頻率或波長),能量的量化值也可以呈現幾何空間,應該也有pattern。

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  • 2010 年 03 月 26 日 at 15:34:21
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    我七歲開始學鋼琴,上課時老師會抽一部份的時間叫我站到鋼琴後面(看不見琴鍵的地方),彈奏和絃,叫我回答是哪些音組成的。

    另一項訓練,是屬於把某一個大調的曲子,透過思考「平移」到另一個大調,或者透過升降音轉成小調。

    回憶起兒時做的訓練,其實我並沒有思考過為何儘管旋律升降調我還會覺得是同一首曲子,也沒有想過一個旋律與另一個「相像」是基於什麼原理。但在腦中的確有個模糊類似模型的東西,經過一段練習之後,平移或模擬旋律幾乎不會出錯,儘管我完全沒想過這種經驗可以用數學表達出來。

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  • 2010 年 04 月 11 日 at 13:48:04
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    我從小到大都覺得彈鋼琴是在玩數學,而我一直以為大家都這樣想的;琴譜看起來明明很像數學課本,難道真的沒人這樣想嗎?尤其是練哈農教本時更是如此,有沒有人跟我一樣的心情呢?
    練哈農時無聊得半死,也像建築學一樣的"規律"."規律"."規律",非常覺得自己是一種技師,就像牙醫師說自己像在工廠生產線上一樣.
    節拍的精確計算也像數學的運用;我常常很想按照我自己的想法改變快慢,可是會挨罵.
    巴哈的作品的數學味道也很重,我的數學沒認真學過,所以我不會形容.
    我在練琴時一直盯著電視;拉小提琴也看電視,所以我的音樂並沒怎樣精進,不好意思我亂發表.

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  • 2011 年 04 月 26 日 at 16:54:43
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    很可愛的回答!

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