【我的數學夢】當女孩遇上橋牌

■ 追求夢想有很多方式，因為回應家人期許而無法進入數學系的女孩，從合約橋牌中開創了另一條屬於她的數學之路。

撰文 ∣ 蔡佩真

　　我喜歡數學，也喜歡挑戰。求學時期科展與解題是挑戰的來源，國小三年級時參加北市科展，討論「從幾類書選幾本、類別可否重複，至少要有多少人選書，才保證有人拿到相同的組合」的各種情況，我負責列全部組合。爸爸教我用組合符號C(m,n) (從m本相異的書任取n本) 計算和確認，有沒有遺漏的組合。他買了高中排列組合的書，還請家教幫我「惡補」這些符號，幫助我打下了排列組合的基礎。排列組合可延伸到機率，而撲克牌又與機率有關，機率是一種數學，因此喜歡數學的我，也愛上了玩撲克牌。

　　小六時參加數學奧林匹克新加坡邀請賽，同學休息時互相切磋撲克牌，玩撿紅點、抽烏龜等等。有人興奮到半夜睡不著，去算2的1000次方除以某大質數的餘數是多少，為了加快速度，同餘與費瑪小定理在十多位選手間掀起熱潮。這時有人推薦了《數學小魔女》這本書，數論與密碼學緊密結合，令我從此對密碼學產生興趣。

　　高中時就讀北一女數理資優班，有幸享受學校豐富的數學資源。選修專題研究時，我選擇了數學組，以台大數學系為第一志願。為了參加數學奧林匹亞競賽，我高一就學完高三數學，高二學微積分、線性代數等大學數學，從定義、定理延伸，交織成數學的畫面，數學的美，令我更加堅定自己的志向。

　　然而，高中是我數學受挫最深的時刻。

屢受挫折

　　首先是高二參加北市科展失利，我以「由抽烏龜遊戲探討進一步的數學問題」為題，天天用撲克牌模擬雙人對決，畫流程圖，把數學專題教室當成了第二個家。玩撲克牌雖然開心，但最後只拿到入選獎，有些失望。

　　接著是競賽屢戰屢敗，就是打不進全國賽。高二時代表學校參加北市數學競賽，是唯一的高二成員，但因對高中數學不夠熟練，並未得獎。高三順利取得代表權，並努力加強較弱的幾何，研究如何找出輔助線。北市賽出了幾何證明題，我用解析證法，算錯一個係數，整題失分，最後只拿到三等獎，只差這一題就可晉級，那晚我傷心痛哭。

　　感謝數學老師們的安慰與勉勵，我重新出發，準備學測，以申請上台大數學系為目標。但我學測的自然科多錯了一題，沒有滿級分，導致申請時第一階段未通過。唯一的好消息是，學測結束後參加的亞太數學奧林匹亞選拔賽，獲選參加第一階段選訓營。

　　在選訓期間，我開始跟同學打合約橋牌，這是我接觸橋牌的起點。某次拿到一手好牌，黑桃Ace、King、Queen帶頭的七張，旁門也有很多Ace和King，如果定義點力計算方式Ace = 4, King = 3, Queen = 2, Jack = 1，整套撲克牌有40點，而我手上就超過20點！當時叫牌只要吃到所喊出的磴數就是贏家，於是我開叫一黑桃，保證要吃七墩以上。其他人都不叫牌，由我主打這個合約。我很快清光其他人手上王牌，繼續吃其他門的贏磴，吃到第九磴時，有人大喊：「你的牌這麼好，為什麼只叫一線？13張牌，你吃12磴都沒問題！」有沒有方法可鼓勵拿好牌的人叫多一些呢？我心中立志，不論大學是否成功進了數學系，我都想加入橋藝社。

　　接著是一連串的打擊，選訓營沒進第二階段，學測申請錄取了並不想念的交大電物，最後決心放棄，全力拼指考。這段時日非常難熬，因必須花時間補強較弱的科目，沒時間讀高中以外的數學使我很痛苦。為了滿足自己想做數學的欲望，我把物理當成數學在算。無心插柳柳成蔭，我竟對應用數學產生興趣，物理科進步將近20分，是意想不到的結果。

　　然而我的考驗還沒完，指考完的科系選擇更令人煎熬。

折衷夢想

　　就如高三時所懷疑的，最後我並沒有進入數學系就讀。儘管指考分數達到台大數學系門檻，但父母希望我讀出路好的科系，尤其是醫學，和父母討論後，折衷選擇台大電機系。

　　進大學以後，我加入了橋藝社跟電機系系橋，挑戰更困難的橋牌技巧。

　　橋牌是機率的遊戲。橋牌的計分，鼓勵拿好牌的人叫到高線位，叫到並完成一定門檻以上合約，可得比一般低階合約更高的分數。有太多人誤以為打橋牌只要完成合 約或擊垮敵方的合約就贏了，正確觀念是「橋牌要得到較多的分數才算獲勝」，相同的牌要傳到其他桌再打一次，有比較才有勝負。要叫到分數高，又有一定機率可 完成的合約，需計算期望值，即為應用數學。[1]

　　橋牌的合約分為三種：部分、成局、滿貫合約。部份合約是指線位低，保證要吃的墩數少，打成的獎分低者。成局合約是指三線無王、四線黑桃或紅心、五線梅花或方塊以上的合約，保證要吃的墩數分別為九、十、十一墩以上，獎分比部份合約打到相同的線位高。滿貫合約是指六線和七線的所有合約，也就是最多一墩沒吃到，獎分極高，較少出現。相對而言，可以得到較多分數，而且比較容易叫到和打到的是成局合約，所以如何叫到期望值為正的成局合約，是重要的課題。（橋牌的計分較為複雜，除了合約計分，還分為有身價與無身價兩種，略有不同，為方便起見，在此全部以有身價時算分。）

　　假設成局合約的完成機率是x，0<x<1，以四黑桃為例：叫到且打到可得620分，叫到卻少吃一磴倒約會失去100分，如果只叫到三線，打成三線有140分，打成四線有170分。列出該叫上四線的條件：620x-100(1-x) > 170x+140(1-x)，解出x > 34.78%，也就是說成約機率超過35%的成局合約值得叫上去，即使是2 / 5的機率也值得去嘗試，因為成局獎分夠甜美。

　　但是滿貫獎分不能輕易嘗試，我們也可以列出不等式來解釋原因，以六黑桃為例：叫到且打到可得1430分，叫到卻少吃一磴倒約會失去100分，如果只叫到四線成局，打成五線有650分，打成六線有680分。不等式為：1430x-100(1-x) > 650 + 30x，解出x > 50%，因為四線的成局獎分已經很高，所以滿貫不可輕易嘗試，幾乎確定了才要去叫，叫到了幾乎都要打活。

　　合約打成的機率計算，例如有八張王牌，需要外面王牌一邊三張、一邊兩張，此機率為68%。如果除了前一條件，還需要方塊Q在左敵家手上，事件發生機率為50%，整個合約打成的機率是68%*50%=34%。但有些時候可以增加機率，根據叫牌與打牌的過程，發掘更多關於敵方牌的資訊，例如做莊主打三線無王合約，對面的牌攤下來，手上的梅花是Ace、Jack、一張小牌，桌上是King、Ten、一張小牌，其他花色總共可以也只能吃到六磴，這時只要猜對梅花Queen的位置就可以吃到三磴梅花，完成合約。打其他花色時計算，左敵家共出了十張紅心和方塊，右敵家只出了四張，可以算出左敵家還有三張黑桃和梅花，右敵家還有九張，所以梅花Queen的位置在左邊的機率是3/12=1/4，在右邊的機率3/4，比直接猜測的50%機率大。即使在右邊為3/4，還是有1/4的機率猜錯。橋牌是機率的遊戲，並沒有哪邊是一定正確的選擇，只有機率比較大的選擇。長期下來，跟著期望值走才能拿到最多正分。

　　橋牌也是團隊的遊戲。在牌桌上，對面是同伴，兩旁是敵方；要和同伴合作，盡力取得最多的分數。在兩桌以上的橋牌比賽裡，則要盡力取得比其他桌同方位者更多的分數，因為各桌同方位的牌張完全相同。不是只有拿好牌才能取勝，每副牌都有機會。和同伴有約定制度（例如開叫一黑桃要保證五張以上與13-21個點），培養默契，成為重要的課題。（註）

　　在牌桌上宛如數學競賽，我在意成績，我想贏，想打得更好，不想犯錯，不想失分。當做出不合期望值的判斷導致失分時，除了面對同伴或學長的責備，也會感到自責。打橋牌很不開心，但也很開心。

承擔重任

　　大一只覺得打橋牌很有趣，升大二時意外被選為系橋隊長，才開始認真練牌，為了教學弟妹，我期許自己要有一定的實力。寒假時參加青少年國手選拔賽，不意外的墊底了，但我從此屢敗屢戰，積極參加國內各項橋牌比賽。

　　為了橋牌，必須練習基本功，主打、防禦、叫牌兼顧，一切技巧都是為期望值設計，有數學背景，較容易理解。平常要背叫牌制度、看橋牌的書、在網路上練牌，希望把所學的技巧應用在牌桌上，有時連做夢都會夢到牌局。中午找一家舒適的小吃店，邊吃飯邊看橋書，是一種享受。

　　橋牌的路跌跌撞撞，第一次在橋賽中晉級已經是升大四。在練牌的過程中學到很多，包含決賽的綜合測驗，可以看到自己的問題癥結，加以改進。今年寒假，我再度挑戰青少年國手選拔賽。這次賽制的年齡限制改成20歲以下，應屆大二學生都可能超齡，我還能參賽實在幸運。這次我終於進入決賽與培訓，選上國手。現在我的目標是參加今年六月的亞太杯打進前三名，取得世青賽代表權。我不會打牌，但仍然為了增加1%機率而備感驕傲；我不會叫牌，可是每叫到一個有機會的好合約，仍會感到開心；我拼不出全貌，如果可能幫助同伴，還是十分興奮。

　　如今，我推甄上了台大電機研究所計算機科學組碩士班，打算研究密碼學與資訊安全，計畫未來攻讀博士。今後我還是會繼續打橋牌，享受挑戰。

　　自從開始學數學，我從未想過放棄它。橋牌展現了數學的本質，我的橋牌夢，就是我的數學夢。

作者註釋

1. 合約橋牌初學講義：http://tw.myblog.yahoo.com/gentleman-bridge/article?mid=2581

作者簡介

蔡佩真，目前就讀國立台灣大學電機系四年級。她的自述：「喜歡算數學和打橋牌，處理問題冷靜似冰，對有興趣的事物熱情如火，可謂之『冰火共存』。」

責任編輯：MissZoe

本文為CASE專題「我的數學夢」連載第四篇。