1654 年 7 月:帕斯卡(Blaise Pascal)給費馬(Pierre de Fermat)有關「點數分配問題」的信

1654 年 7 月:帕斯卡(Blaise Pascal)給費馬(Pierre de Fermat)有關「點數分配問題」的信

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帕斯卡(Blaise Pascal)

文|蕭如珀、楊信男(臺灣大學物理學系)(譯自 APS News,2009 年 7 月)

博弈遊戲和人類歷史一樣古老,考古學家挖掘出土的史前時代物品即是明證。賭博也因為玩家想更進一步了解投注的賠率,間接促成機率論的產生。在 17 世紀中葉,兩位傑出的數學家帕斯卡(Blaise Pascal)和費馬(Pierre de Fermat)在互通信件的過程中,奠定了機率論的基礎,改變了科學家和數學家看待不確定性和風險的方式。

1623 年,帕斯卡出生在法國中南部的克萊蒙-費朗(Clermont-Ferrand),是位天才兒童,主要由任職地方法官的父親耶提耶尼(Etienne)教育他,耶提耶尼和當時一些最有名的知識份子,包括笛卡兒和費馬都維持著良好交情。因此,年輕的帕斯卡有特權出席歐洲一些最有才智的人所主辦的沙龍式聚會。帕斯卡 11 歲時寫了一篇文章論物體振動所發出的聲音;隔年,他自己證明了三角形的內角和等於兩個直角。

帕斯卡 16 歲時對數學的研究有很大的進展,寫了一篇圓錐曲線的論文,給出我們現今所知的帕斯卡定理,說明圓錐曲線的內接六邊形,其三條對邊的交點形成一條直線。當笛卡兒看到此論文時,起先無法相信是由年輕的青少年所寫的,足可說明此成就有多令人驚羨。

當帕斯卡的父親在盧昂(Rouen)擔任國王的稅務委員時,他一直苦於無止盡的計算和重算,當時帕斯卡尚未滿 19 歲,即發明一個機械式的計算器,可以做加法和減法,減輕了他父親的工作,也就是是知名的帕斯卡計算機(Pascaline)。到了 1646 年,他對托里切利氣壓計的實驗深感興趣,做了確切的實驗證明真空的存在。為了紀念他,壓力的國際單位以帕斯卡(pascal,Pa)命名。

1654 年,一位法國散文家,也是業餘數學家貢博(Antoine Gombaud)因喜愛博奕,陷入思考所謂的「點數分配問題」。它最早於 1494 年由一位義大利的修士帕西奧利(Luca Paccioli)在他的專著《算數、幾何、和比例總論》(Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni et Proportionalita)中提出。例如在 balla 球賽中,要投進 6 球才算贏得比賽,而帕西奧利的問題是,若當一個球員投進 5 球,另一個球員投進 3 球,這時球賽中斷了,要如何分獎品?投進 5 球的球員應該分得比較多,但要多分多少?

貢博找上帕斯卡討論,帕斯卡正因健康因素接受醫生的建議,放棄過度使用腦力,而開始喜歡上博奕。在前一年,帕斯卡解出了「帕斯卡三角形」原理,此方法可以決定二項式(a + b)展開的係數,類似中國早 400 多年南宋數學家楊輝所設計的方法。

被這問題迷住的帕斯卡知道他需要發明一個新的分析方法來解決這難題,而這解決方案需要依照每位球員在球賽中斷時的比數,推斷他們獲得勝利的機會。因此他和數學家同行費馬開始著名的通信討論,這短暫數星期的通信就奠定了現代機率論的基礎。他們各自的方法包括列舉所有的可能性,然後決定出每位球員可能獲勝的次數比例,藉以找出答案。

費馬的方法是將所有可能的結果完整列舉出來,例如,在一個擲硬幣 5 次,贏較多次的是贏家的話,若在比賽中斷時,一方以 2 比 1 領先,費馬推算出如果比賽繼續的話,會有 4 種可能結果,其中3種結果有利於領先的一方;所以,領先的一方應該贏得賭金的 3/4。癥結是另一個反對的意見使用不同的計數方法,只得到 3 個可能的結果,而非 4 個。

帕斯卡的方法跳過這個問題,他設計一種演算法,使用現在所知的歸納和全遞迴(implicit recursion)法。此方法包括從賽局中斷後開始推理出每個接續回合各個可能的結果,一旦有了結局,之後就可經由中間步驟回推,定出賽局中斷時每個參賽者獲勝的機率,賭金即可依此分配。

帕斯卡的分析並未考慮較不理想的情況,像無法列出結果相同可能的有限次數的情況,例如天氣或股市。在 18 世紀初,白努利(Jakob Bernoulli)曾想出大數量的法則,企圖提供正式的證明說,當問題的樣本數增加,而致結果數極大時,不確定性會減少。之後又有重要的科學家和數學家提出其他的發展,最終改變了經濟、精算科學和社會科學。

在帕斯卡和費馬最後一次通信的幾星期後,帕斯卡坐馬車摔下橋,和死亡擦肩而過,導致他皈依宗教。他將重心從數學和科學轉移至哲學和宗教的著作,還宣布放棄博奕。不過,他還是偶爾會算一點數學:例如,在 1658 年和 1659 年間,他探討擺線,看怎麼使用它來計算固體的體積。

帕斯卡早期對機率的研究也融入他的哲學研究中,尤其他有名的「帕斯卡賭注」,在那裡他推論說,雖然無法確實證明上帝的存在,但信仰上帝會贏得賭注。帕斯卡於 1662 年 8 月 19 日,就在他 39 歲生日前因腦出血病逝。歷史等著記錄他賭注的結局。

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