【探索10 】生物離子通道的數學建模

第三講‧特稿

過度的填鴨式教育讓學生無法靈活思考,在Q&A時間中林太家教授往往不給標準答案,希望與會民眾能用多樣的角度思考我們關注的問題。

 

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圖片來源| Getty Image

撰文李俐瑩

由生命的奧秘到奇妙的世界

「數學家很喜歡用邏輯,今天在場有兩種人,一種是喜歡數學的人,一種是討厭數學的人」。林教授一開始便破題:希望討厭數學的人,能受到感染變成喜歡數學的人。生命的現象包括植物、動物和人,芸芸眾生的生命萬象既有趣,卻又充滿複雜的機制。什麼是生命?和生命有關的主體?一再被討論。對照生命各種形態,人也有成長和衰老的過程。生命中最有趣的就是,覺得很奇妙。像光是研究鳥的羽毛,就足以發現很多有趣的事。這也就是所謂的「仿生學」,研究成果被用來改善飛機。

當然,事情在我們不知道所以然的時候,就是「奧秘」。一旦解開奧秘,就是對生命的讚嘆。教授覺得,數學就是這樣。如同在座很多中學生,討厭數學就是從「三角函數」開始。不會的東西,對每個人來說,就是一種奧秘。而從奧秘到奇妙,生命如此,數學也不例外。愛因斯坦小時候,如同你我,也是從一加一等於二開始。後面當然經過了一連串的努力,然後發展出狹義相對論。在狹義相對論的背後,我們可以看到,具象的數字如何發展到抽象的代數符號。而由廣義的相對論,能理解微分曲率和微分幾何。數學可以是描述宇宙的方程式,也能像生命一樣成長。

生物細胞與鉀離子的奇幻漂流

了解生命的首要是了解「細胞」,因為細胞能展現生命的奧秘。而細胞的邊緣有一層細胞膜當作邊界。細胞膜裡面還有東西,如果你變成機器人或探針進到細胞膜,會發現裡面還有很多機制。而其中,蛋白質結構就是所謂的「離子通道」。而離子是如何從通道內進出細胞的呢?就像中午吃飯一樣,食物進到食道,離子就像一個漂流過程。如果你中午吃了富含鉀離子的香蕉,鉀離子就會經過漂流到身體裡且經過漂流過程進到細胞。

到底怎麼漂流?舉例來說,有點像少年pi的奇幻漂流。當pi掉到太平洋時,其實pi不知道自己會飄到哪裡。鉀離子進到我們體內,很像少年pi一樣不知道自己會到哪。透過離子通道裡的一些對抗,決定漂流到哪裡。而關於怎麼穿過通道飄進細胞?鉀離子怎麼被使用在細胞中放出神經訊號?也是通過電位差產生作用。

對離子通道來說,每種離子都有自己的重要性。「鈣離子」對肌肉收縮和心跳,扮演著非常重要的角色。而數以千計疾病和離子通道有重要關係。接下來,由於離子通道看起來很複雜,所以我們要介紹離子漂流到底怎麼漂流。不同的離子有著不同的大小,而大小影響了漂流的過程。因為離子通道很狹小,離子的進出就是離子通道的關鍵。我們的離子通道中,主要包含鈉離子、鉀離子、鈣離子、氯離子四種離子,而其中,「氯離子」是「鈉離子」的兩倍大。

數學建模與離子通道的關聯

透過數學的建模,生命的形式終究會被描述出來。在離子通道作用中,離子的大小是很重要的。這次推擠,鈉離子贏了,鈉離子就可以進去,氯離子則不行。而從中展現了離子通道的「選擇性」。鈣離子贏了,鈣離子就進去非常多,鈉離子就不能進去了。離子之間的推擠作用,會導致傳輸有不同的結果。

我們可以把通道想像成一個圓柱體,圓柱體打開就有一個孔,離子可以從中進出,裡面有著非常複雜的蛋白質結構纏繞。離子通道就像「守門員」或「閘門」。打開可以進出,關起來就無法。

河豚毒與生命現象

大家都知道河豚肉很好吃,而有一塊最好吃的,是最接近毒的一塊。吃了一 定會進醫院,如果不進醫院,可能就再也進不了醫院,而要進到另一個地方了。因為這口吃下的毒,會把我們的鈉離子通道堵住,造成我們的生理機制大亂,很快就會沒命了。

而不是只有鈉離子會有堵塞的時候,鉀離子通道也有,就是毒蛇。毒蛇一咬你,你就馬上死亡。因為毒液,會造成鉀離子通道阻塞,使機制不正常。除此之外,離子通道不僅和要命的事物有關,也和救命的事物有關。局部麻醉和鈉離子有關,鈣離子則和降血壓相關。藥物的設計也通過離子通道產生假設。另外,離子通道是癌症的先驅者,它對癌症的治療越來越重要。

而每個細胞就像一座城。鈉離子、鉀離子、鈣離子和氯離子,就要依照「選擇性」,在對應城門進出。要建模之前,我們要從數學的角度去看,寫出一個好的模型,要先蒐集或理解建模領域的根本及資訊。而教授選擇用偏微分方程作為數學建模,是因為離子通道一秒可以擠進成千上萬離子,它是動態的且非常快速,電位能固定在一個範圍內。

中國數學家祖沖之的「π計畫」

中國有名的數學家,祖沖之,實行過「π計畫」。他最重要的貢獻就是,幫圓周率多算了兩位。其實這就是建模的思想:最佳化。圓周率算得越精準,意識就越精確,設計出來的輪子越圓,跑得越快。因為,東方和西方都用馬,在當時,東方馬車,一定跑得比西方快。

而建模對人類文明的重要性在於,欲得到比較精確且完整的想法,就得通過建模。建模的三種方法:基本上有三類方法,第一種是「蒙地卡羅」,把離子一顆一顆的能量算出來,找到最小能量和狀態。缺點是沒辦法算動態。第二種是「分子動力模擬」, 把每一個離子軌道算出來。代價很大,效率不好,而且七天只能算幾秒。但很準確研究可以應用。而第三種就是數學家欲改善,採用的「偏微分方程建模」。我們用連續變數,考慮分母和密度函數,得以理解數學通道傳輸機制。其中,牽涉的是「能量變分法」。所謂最小作用原理,就是指它的能量或耗散。就像我們吃完中餐要吃晚餐,還要消夜,但不會變成無底深淵,能量不會耗散下去,會有平衡機制。

很像數學上的守門率。又因為「最大耗散原理」,能量會有效率的在你需要時產生耗散,迅速供給全身能量。兩者就像是踩煞車和踩油門達到平衡。如果用一句話,形容數學建模到底可以做什麼,我們可以這麼說:數學建模能將物理現象,利用嚴格數學推導,將數學的抽象帶到科學的具象。

形式邏輯的數學語言

做為一個學習數學的人,我們應該要有勇氣。這種勇氣來自對數學的信心,竅門來自對數學的信心,相信數學所證明出來的結果。在看不見的抽象世界中,看不見的和不知道的只要通過運算,我們就可以確認為真。

而數學是理性且精準地語言,沒辦法有一點感性的部分,所以無法表現出「我愛你」。它具有「絕對的一致性和融貫性」,且由公理、定義和定理三大部分構成。各種理論往往都能相得益彰。為什麼有這種融貫性,是因為必須相信裡面的公理,大家都從相同的公理出發。利用形式邏輯規範,來定義出公理。中國人的理性雖然強,但卻沒有發展出形式邏輯。

但是,數學是絕對的不是相對的。形式邏輯的是,是一種絕對的是,獨一的是。我們的是與不是,是相對的。既是無理又是沒理就無法證明。在秦九章《九章算經》提出後,西方的高斯,才提出一樣的理論,中國領先西方1000年。各種運輸工具,也遠勝過西方。但之後,東方和西方數學產生差異,就在於形式邏輯的關鍵,是中國文化所沒有的。這個關鍵,讓東方和西方數學產生消長。東方從數學資優生,變成中輟生。

最後,美國《商業週刊》2006/1/23封面故事,告訴我們「數學將會晃動世界」。因為,二十一世紀的財富,將集中在懂數學的手裡。如果你只把數學當作雕像,可以不在意。但講到money,你不能不在意。答案是因為「建模」,數學家可以透過建模做有效的模型,偏微分方程也包含其中。只要說到「衍生性金融產品」,如股票、基金和證券,都可以透過建模產生預測,希望提供這個資訊給大家,大家能對數學建模產生興趣。

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 本文整理自:102/10/26下午由林太家教授在臺大應力所國際演講廳所主講之「生物離子通道的數學建模」的演講內容
 延伸閱讀:臺大科學教育發展中心探索基礎科學講座2013年10月26日第三講〈生物離子通道的數學建模〉全程影音

責任編輯:Vita Chen

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