【探索10 】生物離子通道的數學建模

第三講‧特稿

■ 過度的填鴨式教育讓學生無法靈活思考，在Q&A時間中林太家教授往往不給標準答案，希望與會民眾能用多樣的角度思考我們關注的問題。

 

撰文│李俐瑩

由生命的奧秘到奇妙的世界

「數學家很喜歡用邏輯，今天在場有兩種人，一種是喜歡數學的人，一種是討厭數學的人」。林教授一開始便破題：希望討厭數學的人，能受到感染變成喜歡數學的人。生命的現象包括植物、動物和人，芸芸眾生的生命萬象既有趣，卻又充滿複雜的機制。什麼是生命？和生命有關的主體？一再被討論。對照生命各種形態，人也有成長和衰老的過程。生命中最有趣的就是，覺得很奇妙。像光是研究鳥的羽毛，就足以發現很多有趣的事。這也就是所謂的「仿生學」，研究成果被用來改善飛機。

當然，事情在我們不知道所以然的時候，就是「奧秘」。一旦解開奧秘，就是對生命的讚嘆。教授覺得，數學就是這樣。如同在座很多中學生，討厭數學就是從「三角函數」開始。不會的東西，對每個人來說，就是一種奧秘。而從奧秘到奇妙，生命如此，數學也不例外。愛因斯坦小時候，如同你我，也是從一加一等於二開始。後面當然經過了一連串的努力，然後發展出狹義相對論。在狹義相對論的背後，我們可以看到，具象的數字如何發展到抽象的代數符號。而由廣義的相對論，能理解微分曲率和微分幾何。數學可以是描述宇宙的方程式，也能像生命一樣成長。

生物細胞與鉀離子的奇幻漂流

了解生命的首要是了解「細胞」，因為細胞能展現生命的奧秘。而細胞的邊緣有一層細胞膜當作邊界。細胞膜裡面還有東西，如果你變成機器人或探針進到細胞膜，會發現裡面還有很多機制。而其中，蛋白質結構就是所謂的「離子通道」。而離子是如何從通道內進出細胞的呢？就像中午吃飯一樣，食物進到食道，離子就像一個漂流過程。如果你中午吃了富含鉀離子的香蕉，鉀離子就會經過漂流到身體裡且經過漂流過程進到細胞。

到底怎麼漂流？舉例來說，有點像少年pi的奇幻漂流。當pi掉到太平洋時，其實pi不知道自己會飄到哪裡。鉀離子進到我們體內，很像少年pi一樣不知道自己會到哪。透過離子通道裡的一些對抗，決定漂流到哪裡。而關於怎麼穿過通道飄進細胞？鉀離子怎麼被使用在細胞中放出神經訊號？也是通過電位差產生作用。

對離子通道來說，每種離子都有自己的重要性。「鈣離子」對肌肉收縮和心跳，扮演著非常重要的角色。而數以千計疾病和離子通道有重要關係。接下來，由於離子通道看起來很複雜，所以我們要介紹離子漂流到底怎麼漂流。不同的離子有著不同的大小，而大小影響了漂流的過程。因為離子通道很狹小，離子的進出就是離子通道的關鍵。我們的離子通道中，主要包含鈉離子、鉀離子、鈣離子、氯離子四種離子，而其中，「氯離子」是「鈉離子」的兩倍大。

數學建模與離子通道的關聯

透過數學的建模，生命的形式終究會被描述出來。在離子通道作用中，離子的大小是很重要的。這次推擠，鈉離子贏了，鈉離子就可以進去，氯離子則不行。而從中展現了離子通道的「選擇性」。鈣離子贏了，鈣離子就進去非常多，鈉離子就不能進去了。離子之間的推擠作用，會導致傳輸有不同的結果。

我們可以把通道想像成一個圓柱體，圓柱體打開就有一個孔，離子可以從中進出，裡面有著非常複雜的蛋白質結構纏繞。離子通道就像「守門員」或「閘門」。打開可以進出，關起來就無法。

河豚毒與生命現象

大家都知道河豚肉很好吃，而有一塊最好吃的，是最接近毒的一塊。吃了一 定會進醫院，如果不進醫院，可能就再也進不了醫院，而要進到另一個地方了。因為這口吃下的毒，會把我們的鈉離子通道堵住，造成我們的生理機制大亂，很快就會沒命了。

而不是只有鈉離子會有堵塞的時候，鉀離子通道也有，就是毒蛇。毒蛇一咬你，你就馬上死亡。因為毒液，會造成鉀離子通道阻塞，使機制不正常。除此之外，離子通道不僅和要命的事物有關，也和救命的事物有關。局部麻醉和鈉離子有關，鈣離子則和降血壓相關。藥物的設計也通過離子通道產生假設。另外，離子通道是癌症的先驅者，它對癌症的治療越來越重要。

而每個細胞就像一座城。鈉離子、鉀離子、鈣離子和氯離子，就要依照「選擇性」，在對應城門進出。要建模之前，我們要從數學的角度去看，寫出一個好的模型，要先蒐集或理解建模領域的根本及資訊。而教授選擇用偏微分方程作為數學建模，是因為離子通道一秒可以擠進成千上萬離子，它是動態的且非常快速，電位能固定在一個範圍內。

中國數學家祖沖之的「π計畫」

中國有名的數學家，祖沖之，實行過「π計畫」。他最重要的貢獻就是，幫圓周率多算了兩位。其實這就是建模的思想：最佳化。圓周率算得越精準，意識就越精確，設計出來的輪子越圓，跑得越快。因為，東方和西方都用馬，在當時，東方馬車，一定跑得比西方快。

而建模對人類文明的重要性在於，欲得到比較精確且完整的想法，就得通過建模。建模的三種方法：基本上有三類方法，第一種是「蒙地卡羅」，把離子一顆一顆的能量算出來，找到最小能量和狀態。缺點是沒辦法算動態。第二種是「分子動力模擬」， 把每一個離子軌道算出來。代價很大，效率不好，而且七天只能算幾秒。但很準確研究可以應用。而第三種就是數學家欲改善，採用的「偏微分方程建模」。我們用連續變數，考慮分母和密度函數，得以理解數學通道傳輸機制。其中，牽涉的是「能量變分法」。所謂最小作用原理，就是指它的能量或耗散。就像我們吃完中餐要吃晚餐，還要消夜，但不會變成無底深淵，能量不會耗散下去，會有平衡機制。

很像數學上的守門率。又因為「最大耗散原理」，能量會有效率的在你需要時產生耗散，迅速供給全身能量。兩者就像是踩煞車和踩油門達到平衡。如果用一句話，形容數學建模到底可以做什麼，我們可以這麼說：數學建模能將物理現象，利用嚴格數學推導，將數學的抽象帶到科學的具象。

形式邏輯的數學語言

做為一個學習數學的人，我們應該要有勇氣。這種勇氣來自對數學的信心，竅門來自對數學的信心，相信數學所證明出來的結果。在看不見的抽象世界中，看不見的和不知道的只要通過運算，我們就可以確認為真。

而數學是理性且精準地語言，沒辦法有一點感性的部分，所以無法表現出「我愛你」。它具有「絕對的一致性和融貫性」，且由公理、定義和定理三大部分構成。各種理論往往都能相得益彰。為什麼有這種融貫性，是因為必須相信裡面的公理，大家都從相同的公理出發。利用形式邏輯規範，來定義出公理。中國人的理性雖然強，但卻沒有發展出形式邏輯。

但是，數學是絕對的不是相對的。形式邏輯的是，是一種絕對的是，獨一的是。我們的是與不是，是相對的。既是無理又是沒理就無法證明。在秦九章《九章算經》提出後，西方的高斯，才提出一樣的理論，中國領先西方1000年。各種運輸工具，也遠勝過西方。但之後，東方和西方數學產生差異，就在於形式邏輯的關鍵，是中國文化所沒有的。這個關鍵，讓東方和西方數學產生消長。東方從數學資優生，變成中輟生。

最後，美國《商業週刊》2006/1/23封面故事，告訴我們「數學將會晃動世界」。因為，二十一世紀的財富，將集中在懂數學的手裡。如果你只把數學當作雕像，可以不在意。但講到money，你不能不在意。答案是因為「建模」，數學家可以透過建模做有效的模型，偏微分方程也包含其中。只要說到「衍生性金融產品」，如股票、基金和證券，都可以透過建模產生預測，希望提供這個資訊給大家，大家能對數學建模產生興趣。

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 本文整理自：102/10/26下午由林太家教授在臺大應力所國際演講廳所主講之「生物離子通道的數學建模」的演講內容

 延伸閱讀：臺大科學教育發展中心探索基礎科學講座2013年10月26日第三講〈生物離子通道的數學建模〉全程影音

責任編輯：Vita Chen