倍角公式 (Double-Angle Formula)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角函數的倍角公式可分為二倍角公式、三倍角公式等兩種，

對二倍角公式而言，在正弦函數方面，有 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)，

在餘弦函數方面，有 \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\)，

還有，在正切函數方面，有 \(\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)。

至於三倍角公式，則有正弦函數：\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)；

餘弦函數：\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)；

正切函數：\(\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan\theta}\)。 Continue reading →

海龍公式(Heron’s Formula)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

海龍公式：若 $$\Delta{ABC}$$ 的三邊長 $$\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c$$，令 $$s=\frac{a+b+c}{2}$$，

則 $$a\Delta{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$，此稱為海龍公式。

證明：一般高中數學教科書常用代數方法證明，利用餘弦定理及兩次平方差公式，如下敘述。

$$\begin{array}{ll}a\Delta{ABC}&=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2\sin^2A}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2(1-\cos^2A)}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2-b^2c^2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b^2+2bc+c^2)-a^2][a^2-(b^2-2bc+c^2)]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$$

在一般數學教學現場中，學生對於海龍公式證明的反應通常是認為繁瑣、難以心神領會；可是對於這個公式的方便又折服不已，只要給定三邊長就可以算出三角形面積，這是多麼美麗的公式(beautiful formula)啊！ Continue reading →

餘角關係 (Trigonometric Identities for Complementary Angles)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在 $$\Delta{ABC}$$ 中，若 $$\angle{ABC}=90^\circ$$，則 $$\angle{A}+\angle{B}=90^\circ$$，如下圖一所示：

圖一：現行高中數學教科書，銳角三角函數的定義是建立在直角三角形上。

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餘弦定理(Law of cosine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

餘弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，則恆有性質

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\)，此稱餘弦定理。
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) Continue reading →

三角測量及其相關歷史（trigonometric measurement and its history）
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

一般而言，處理三角測量的問題 (對現行教材而言 )，是先將題目讀懂，轉化為數學，然後再透過解三角形的方式求得答案。不過學生遇到的，常是在設計好測量方式情境下，所處理的問題。其實，若在講解時可以從測量問題的原始狀況出發會別有一番風趣。在眾多版本中，康熙這部分的寫法最符合個原則值得參考。 在底下將一些想法整理如下，供大家參考討論。 Continue reading →

對數的誕生(Birth of Logarithms)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

對數單元的教學安排，一直是老師教學上的一大挑戰。在擁有便利的輔助工具之後，學生很難能耐著性子處理那些龐雜的數字計算(尤其是那種為考試而設計的問題)。事實上，對數發展時的那種數字處理的需求，已經從每個人的經驗中消失，教學上也難以再現。

現行「對數」的定義是十八世紀數學家歐拉(Léonhard Euler, 1707-1783)所給的：「給定一個正數當作底數，則一個數的對數，就是這個底數的次方與這個數相等時的指數/指標(index)。以現在的數學符號表示，就是 $$a^x=b\Longleftrightarrow{x}=\log_ab$$。 Continue reading →

指數函數（Exponential function）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

當自變數 $$x$$ 放置在指數，而底數為某一正數 $$a$$ 時，所形成的函數就稱為指數函數；即

$$f(x)=a^x~(x\in{R})$$。

而有了實數指數律性質，就可以將指數函數圖形描繪出來。一般而言，只要給定一正數 $$a$$，我們就可以透過電腦將其圖形繪出。例如下圖（一），我們利用電腦軟體描繪出 $$f(x)=a^x~(a>1)$$ 和 $$g(x)=a^x~(0<a<1)$$ 的圖形。我們可以觀察出指數函數圖形的一些數學特性： Continue reading →

指數律（Exponential law）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一個實數 $$a$$ 自乘 $$n$$次後的乘積($$n$$ 是自然數)，該如何用精簡的數學符號語言來表示呢？你是否能想得到像笛卡兒（René Descartes）在十七世紀時所用方法，即在數字或文字的右上方用小拉伯數字來表示次方的概念呢？也就說將 $$a$$ 自乘 $$n$$ 次或者說有 $$n$$ 個 $$a$$ 自乘，以 $$a^n$$ 來表示，其中 $$a$$ 稱為底數，$$n$$ 稱為指數。 Continue reading →