遞迴關係（二）（recurrence-relation-2）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（一）

摘要：本篇介紹99課綱中提及的五個「一階遞迴公式」。

前面談到遞迴關係是指 $$a_{n}=F(a_{1},a_{2},…,a_{n-1})$$ 。一個簡單的情況是要決定目前這一項，只牽涉到前一項。即

$$a_{n}=F(a_{n-1})$$

這稱為「一階線性遞迴關係」。這一類遞迴式基本上是相對好處理的，正常的情況下一般項的解也能求得出來（當然也有不能算的）。這篇短文稍微介紹一下99課綱中特別提及的五個「一階遞迴公式」（足碼略有調整，但本質上是一樣的）。課綱提及這些遞迴式，不僅僅因為能算，而且也因為有根本的重要性。 Continue reading →

遞迴關係（一）（Recurrence relation-1）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授

摘要：這是一系列關於「遞迴關係」文章的第一篇，本篇先介紹遞迴的基本概念，並簡述它在科學發展上的重要性。

九九的數學課綱（100 學年度高一開始使用）和以往相比有相當大幅度的更動，一個結構性的調整的是排列組合放到高一來教了。因此現在（100 年）是奇妙的一年，高一和高二同時在教排列組合，這一點可能要經過許多年師生才能調適好。

新的課綱中的總架構中的數學II（高一下學期）處理和離散數學相關的部分，第一部份為數列與級數，當作整個數學 II 的預備知識。在此部分中，課綱中特別強調了遞迴的概念，茲節錄如下：

本章節作為有限數學的先備知識，主要是讓學生發現數列的規律性，歸納成公式，並用數學歸納法加以證明。核心的公式為一階線性遞迴關係。（中略）。級數部分包括基本的求和公式與 $$\Sigma$$ 符號的操作。

可看出遞迴的確是新課綱中強調的思想之一。 Continue reading →

正弦函數與週期性（Sine Function and Periodicity）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本文舉例說明日常生活中隱藏的正弦函數。

高中數學很大部分的課程是在學習基本函數圖形：高一的多項式函數、指數函數、對數函數，高二以後的三角函數… 。

不同的基本函數有不同的特性，多項式是最簡單的函數，曾有一首打油詩描述多項式的特色：「加減乘除都好算，曲線優美不間斷，多項式，讚！」用數學語言更精確的說明，「曲線優美」就是微分連續，「不間斷」是指其為連續函數，不過此特性並非那麼獨特，指對數或三角函數也都是「曲線優美不間斷」，多項式更重要的特色是運算簡單，所以我們很喜歡用多項式逼近其他函數；指數函數的特色是同樣時間間隔內成長倍數相同」；那麼，三角函數的特性是什麼呢？

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三角函數的疊合 (Simplifying  \(\sin x+\cos x\))
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編

摘要：在學會正弦、餘弦的基本函數圖形及其平移伸縮後，很自然會想知道正弦與餘弦組合（\(y = A\sin x + B \cos x\) ）圖形的樣貌，即「三角函數的疊合」。疊合有非常多有趣的切入點，本文簡單點出幾個不同的想法。

正規課本內容

不論任何版本的課本，第一個例子幾乎都是 \(y=\sin x +\cos x\) ，想辦法將 \(y=\sin x +\cos x\) 湊成和角公式，技巧是提出以 \(A\)、\(B\) 為兩股的斜邊，即 \(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\) ，就能夠將 \(y=\sin x+\cos x\) 化簡成單一三角函數：

\(\begin{array}{ll} y &=\displaystyle \sin x+\cos x \\&=\displaystyle\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})~~~~~~~~~(1)\end{array}\)

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三角函數積與複數 (Complex Number and Product of Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

連結：三角函數和與複數

摘要：不同於上篇利用圖形對稱性的作法，這裡將棣美弗定理（de Moivre’s formula）、二項式定理（Binomial theorem）作連結，發現其中的恆等式，進而幫助化簡正弦連乘。

題目：試求 ​\( \displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \)​ 之值。

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三角函數和與複數（Complex Number and Sum of Trigonometric Functions）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本文介紹一題舊教材常見的和差化積問題，將其與 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根連結，直接利用圖形的對稱性即可看出解答。

以下問題為99課綱前高一和差化積常見的練習題，筆者曾經非常不喜歡此題，直至學到了棣美弗定理及 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根後，有了新的看法，故本文上篇的重點不在於發展技巧。和差化積容易衍伸出需要技巧的難題，在99課綱已被刪掉，不過此題搭配 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根一起看還是很有趣，藉由本文提出與各位分享。 Continue reading →

正多邊形拼貼（二）（Regular Tessellation II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結：正多邊形拼貼（一）

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

延續上一篇所提出的問題，接下來要討論正多邊形拼貼的所有可能情形。 Continue reading →

正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

看著五顏六色的圖案不斷延伸的磁磚或壁紙，是學生日常生活中最會注意到的幾何經驗之一。拼貼不是繪圖而是裝飾，工人不需要是畫家或設計者，而能製作出這些精美的效果，來自於其中簡單的重複性，也就是對稱性。 Continue reading →