多項式 (Polynomial)
國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

選定一個具備實數運算性質的符號，稱為元，元與其本身和其他實數做有限多次加、乘計算所成的式子，稱為多項式。我們通常以$${x}$$作為元，但也可以用其他符號。例如 $${x}$$、$${x+1}$$、$${x^2}$$、$${2{x}^2-{x}+1}$$ 都是多項式，又特別稱為 $${x}$$ 的多項式。

注意 $${-x}$$ 是 $${(-1)}\times {x}$$ 的意思，而 $$\frac{1}{x}$$、$$\sqrt{x}$$ 都不是多項式。 Continue reading →

多項式除法 (Polynomial Quotients and Remainders)
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多項式的「元」具備如實數一般的運算性質，但是多項式本身的運算性質卻像正整數：兩個多項式相除，會得到商式並產生餘式。類似於正整數的除法原理，若多項式 $$P$$、$$K$$、$$Q$$、$$R$$ 滿足 $$\mathrm{deg}~R <\mathrm{deg}~K$$ 且 $$P=QK+R$$，例如 $$x^2=(x+1)(x-1)+1$$ 則它們也可以寫成多項式除法形式：

$$P\div{K}=Q…R$$ Continue reading →

霍內演算法(Horner’s Algorithm)
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高中課程由除法的直式計算，化約成所謂的綜合除法，然後經過餘式定理而得到多項式函數 $$f(x)$$ 的求值算法。這個算法，比直接代入而計算的方法優秀，因為計算量較少。

例如當 $$f(x)=x^4-4x^3+2x^2-x+1$$，

直接代入 $$x=\frac{1}{2}$$ 需要算 $$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$$、$$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$$、$$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$$，然後計算

$$\displaystyle{f(\frac{1}{2})}=\frac{1}{16}-\frac{4}{8}+\frac{2}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{1-8}{16}+1=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}$$

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指數函數(Exponential Functions)
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若我們將紙對摺為兩半再撕開，會得到兩張紙；將這兩張紙疊在一起再對摺撕開時，則會得到四張紙。很明顯的，對摺並撕開的次數與紙的數量之間有一個對應的關係。 Continue reading →

指數律(Exponentials)
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 令 $$a$$ 為實數，$$n$$ 是正整數，$$a^n$$ 有具體的意義：$$a$$ 自己連乘 $$n$$ 次。現在我們要討論當指數是 $$0$$、負整數、分數、無理數時，次方計算的意義為何。 Continue reading →

二的平方根(The Square Root of Two)
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二的平方根記作 $$\sqrt{2}$$，讀作「根號二」。$$\sqrt{2}$$ 是一個代數式，而不是如 $$2$$、$$1.4142$$ 這樣的數字。$$\sqrt{2}$$ 代表那個平方後會等於 $$2$$ 的正數，也代表一個面積為 $$2$$ 的正方形之邊長；它是方程式 $$x^2=2$$ 的唯一正根。 Continue reading →

自然數(Natural Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數又稱為正整數，西方數學家認為它們是「上帝創造的數」，這些數早就根植在我們的語言和文字之中，在日常生活中用來當作點數ㄕㄨˇ的工具。例如計算農場有 $$5$$ 頭牛、可以交換 $$9$$ 隻羊；同時也用來指稱第幾個，例如國王的第 $$4$$ 個兒子。現在我們用來表達的十個數字：$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ 和 $$9$$ 是所謂的阿拉伯或印度–阿拉伯數字。 Continue reading →

自然數的大小和加減(Ordering and Addition-Substractions of Natural Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數的運算，是一切「運算」的原型，而這些運算來自於我們用自然數當作點數ㄕㄨˇ工具的語言含意。自然數的運算，只是將日常使用的語言含意，用一組特殊的術語、數字和符號表達出來而已，實在並不高深。以下，我們從自然數加、減運算的具體含意，歸納它們運算性質。 Continue reading →