機率歷史 (The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。

西方學者於 17 世紀開始對機率理論產生興趣，其理論背景最初只是為了處理如擲骰子、輪盤、撲克牌等遊戲的賭金分配問題。其中擲骰子早期流行於埃及、印度及東方民族，希臘人把擲骰子遊戲的發明，歸功於特洛伊城被圍困時的帕拉墨得斯，當時的人們都十分熱衷此遊戲。古羅馬人也不干示弱，克勞狄皇帝還親自撰寫有關擲骰子的文章。而在《摩軻婆羅多》這部有 3000 年的印度敘事詩中，紀錄了一位狂熱的擲骰子賭徒的不幸，他在輸光了一切之後，竟然拿自己的生命做賭注，真是令人惋惜的一段歷史。 Continue reading →

黃金比例Ⅱ(Golden RatioⅡ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

連結：黃金比例Ⅰ

摘要:本文接續黃金比例Ⅰ，介紹黃金比例與斐波那契數列的關係、黃金比例與連分數的關係、黃金比例學習單，最後，略論黃金比例的意義與重要性。

黃金比例與斐波那契數列的關係

斐波那契數列(Fibonacci sequence, 簡稱費氏數列)最早出現在《計算之書》，如圖八所示，該書出版於西元 1202年，它是中世紀數學的代表書籍，書中的題目內容來自當時歐洲人的生活模式， 「斐波那契數列」則位於第十二章的第七部分(第474頁)。 Continue reading →

黃金比例Ⅰ(Golden Ratio  Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文首先定義黃金比例，接著介紹黃金比例與 等腰三角形的關係、黃金比例與黃金矩形的關係、黃金比例與等角螺線的關係、黃金比例與金字塔的關係。

歐幾里得(Euclid, ca.300B.C.)的《幾何原本》(Elements)是一部劃時代的著作，它偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。 Continue reading →

巴斯卡三角形的應用Ⅱ(The Application of Pascal Triangle Ⅱ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

連結：巴斯卡三角形Ⅰ

摘要：本文介紹巴斯卡三角形的應用，首先是二項式定理，接著是質數性質，第三個應用是巴斯卡三角形與費氏數列的關係，第四個應用為曲棍球球棍模型，第五個應用為三角數關係，第六個應用為完全平方數關係，第七個應用為巴斯卡三角形與謝爾賓斯基三角形的關係，第八個應用為倒數巴斯卡三角形。 Continue reading →

三次方根與三角函數 (Cubic Roots and Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：解三次方程式用卡當公式，卡當公式需開複數的立方根，開複數立方根可用棣美弗定理，棣美弗定理又和三角函數脫不了關係，換言之即使低次如三次方程式也和三角函數密切相關，本篇文章就上述幾者的關係做個討論。

棣美弗定理與複數方根

棣美弗最有名的定理，就是高中課本裡的「棣美弗定理」：

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

※ 此公式棣美弗證明了 $$n$$ 為自然數時成立，1749年時尤拉則證明了 $$n$$ 為實數也成立。

在高中學習棣美弗定理最主要能幫助我們找複數的方根。 Continue reading →

恆寬曲線（Curve of Constant Width）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本篇文章從「恆寬曲線」談起，最後回到圓的定義，藉由恆寬與圓的差別體會圓的精妙。

何謂恆寬曲線

工程上稱某種曲線為「恆寬（constant width）曲線」：平面上一凸形封閉曲線，不論如何轉動，其寬度永遠不變，則稱之。所謂「寬度」是指平行線夾住某封閉曲線時，平行線間的距離即是。簡單說來，若以恆寬曲線作為輪子，並在其上放置板子，則乘客於上頭並不會顛簸；反之，若其非恆寬曲線，則當輪子轉動時板子間的寬度就改變了，乘客想必非常暈眩；舉例來說若用梯形當輪子，因為一轉動板子間的寬度就變了，所以梯形不是恆寬曲線。 Continue reading →

初等的機率論（10）推理統計學簡介
（Elementary Probability Theory-10. BriefIntroduction to Statistical Inference）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？

摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。

機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。 Continue reading →

初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？
（Elementary Probability Theory-9. What are Probability and Law of chance？）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質

摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law of large numbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’s law of small numbers）」、及「中央極限定理（central limit theorem）」。

機率論的兩個核心問題就是要問：

什麼是一個事件的機率（probability）？
什麼是機率法則（the laws of chance）？（甚至是，有沒有機率法則？）

要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D. Hilbert (1862-1943) 所說的一句名言：

這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。 Continue reading →