數學歸納法(Mathematical induction)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

談論數學歸納法 (mathematical induction)，就必須提及義大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 的五個公設。他總結了自然數的有關性質，提出五條公理，後人稱之為「自然數的皮亞諾公理」，其內容如下：

\((1)\)  \(1\) 是一個自然數。

\((2)\)  \(1\) 不是任何其他自然數的後繼數。¹

\((3)\)  每一個自然數 \(a\) 都有一個後繼數。

\((4)\)  如果 \(a\) 與 \(b\) 的後繼數相等，則 \(a\) 與 \(b\) 亦相等。

\((5)\)  若一個由自然數組成的集合 \(s\) 包含有 \(1\)，又若當 \(s\) 包含有某一數 \(a\) 時，它一定也含有 \(a\) 的後繼數，則 \(s\) 就包含有全體自然數。

上述第5條即所謂的「數學歸納法的原理」，也就是目前中學生所熟悉的解題模式(problem-solving module) 之依據，²其步驟如下：

1. 證明當取第一個元素 \(n_0\) 時(起始元素)，原式成立。
2.1 假設 \(n =k~(k\ge n_0)\) 時(中繼元素)，原式成立。
2.2 利用 2.1 證明 \(n = k + 1\) 時(後繼元素)，原式成立。³

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克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式（Cramer’s Rule, Part 2: Cramer’s Original Rule）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪在其書中所呈現的公式，與今日的克拉瑪公式在表現方式上並不相同。

連結：克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹

原來的克拉瑪公式

在沒有行列式的輔佐下，克拉瑪只能逐項寫出，但他給出一個很有趣的法則來寫出聯立方程組的解公式。

以下利用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的一次聯立方程組說明克拉瑪的方法：

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.\\\Rightarrow \displaystyle x = \frac{{{d_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {d_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {d_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {d_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {d_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {d_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}{{{a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}}}\) Continue reading →

克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹（Cramer’s Rule, Part 1: Cramer’s Life and Writings）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪公式及克拉瑪的生平、著作。

現在的克拉瑪公式

在求一次聯立方程組之解時，最常提及的解公式就是「克拉瑪公式」。以二元一次聯立方程組與三元一次聯立方程組為例：

\((1)\) 給定 \(x\)、\(y\) 的一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y = {c_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y = {c_{ 2}} \end{array} \right.\)

令 \(\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} } \right|\)。

則當 \(\Delta \ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\) Continue reading →

各式聯立方程組的程序性解法 (2)：中國的版本
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Chinese Versions）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹程大位《算法統宗》的「二色方程歌」，這相當於二元一次聯立方程組程序性解法。

連結：各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾

《九章算術》的〈方程〉章

中國最早的解聯立方程組的法，記載在《九章算術》的最後一章〈方程〉之中。由於這方法與算籌操作完美地配合，使得中國數學在解方程式的這一領域，顯得十分的單調。在明末以前，大抵就只有劉徽提出略為改良的「方程新術」而已。《九章算術》中的解法，本網站中蘇俊鴻老師所寫的〈矩陣的高斯消去法〉一文已有詳細的說明，在此不再贅述，請讀者自行參閱該文。接下來將介紹明朝《算法統宗》的「二色方程歌」。

《算法統宗》的「二色方程歌」

程大位，字汝思，號賓渠，生於明朝嘉靖12年（西元1533年），卒於明朝萬曆34年（西元1606年）。關於程大位的生平記載並不多，據稱他年少時聰穎而好學，除了讀儒家書外，更嗜書法與數學。二十歲外出經商後，更不忘四處搜羅有關的字帖及書籍。他的長輩程時用稱他「凡客遊湖海，遇古其文字及算數諸書，則購而玩之，齋心一志，至忘寢食。」數學書與書法帖被並稱「購而玩之」，可見在當時數學的地位與技藝相去不遠。不同於長輩認為的數學僅是玩物，程大位自己十分注重對數學的鑽研，他說：

予幼耽習是學，弱冠商游吳楚遍訪明師，繹其文義，審至成法。

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各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Maclaurin’s and Cardano’s Works）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹麥克勞林在其《代數學》中所呈現的二元、三元一次聯立方程組的解公式，它們等價於克拉瑪公式。另外還介紹了卡丹諾在《大技術》中相當於二元一次聯立方程組的程序性解法。

麥克勞林的公式

麥克勞林 (Colin Maclaurin, 1698~1746)在27歲的時候獲得牛頓 (Newton)的推薦擔任愛丁堡大學數學教授一職，將一生都奉獻給了故鄉蘇格蘭。在他死後兩年 (1748年)才出版的著作《代數學》(Treatise of Algebra)中，也有今日所謂的「克拉瑪公式」，他利用解方程式的方式，得出下列的公式：

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ dx + ey = f \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ce – bf}}{{ae – db}}\\ y =\displaystyle \frac{{af – dc}}{{ae – db}} \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by + cz = m\\ dx + ey + fz = n\\ gx + hy + kz = p \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ekm – bfm + bcn – bkn + bfp – cep}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ y =\displaystyle \frac{{afp – akn + dkm – dep + gcn – gfm}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ z =\displaystyle \frac{{aep – abn + dbm – dbp + gbn – gem}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}} \end{array} \right.$$

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微分應用在函數圖形的特徵上
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

一、前言

99課綱的的數學I教材中，在多項式函數的章節裡，有一單元為單項函數，要求學生認識與繪製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函數圖形，然後再利用平移認識 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$（或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$）的圖形即可。

以現階段學生學得的數學知識而言，確實他們也只能學習到此，但是在某些有關三次方程式的實根問題中，如果學生可以知道一般三次函數的圖形時，配合圖形來討論實根，將可降低題目的難度，以及提升學生對解題過程的理解。以下筆者配合微分的學習，來說明三次函數的圖形。 Continue reading →

三次函數圖形的繪製
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

當我們要描繪一個多項式函數圖形時，有幾個需要事先注意與處理的步驟：

1. 確定自變數 \(x\) 的範圍；
2. 求 \(y=f(x)\) 與座標軸的交點：
3. 確定函數圖形是否有水平漸近線、鉛直漸近線或斜漸近線；
4. 計算 \(f'(x)\)，求出曲線上發生極值的點，同時也確定曲線的升降情況；
5. 計算 \(f”(x)\)，求出曲線上的反曲點，同時也確定曲線凹口向上或向下的情況。

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製三次函數的圖形。 Continue reading →

貝氏定理(Bayes’ theorem)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

明天下雨機率是多少？日常生活中我們總是會使用到機率的概念，但是在語句用詞上若不夠周延，就很容易把「在 \(A\) 事件發生的情況下，\(B\) 事件發生的機率」與「在 \(B\) 事件發生的情況下，\(A\) 事件發生的機率」混為一談，也就是把 \(P(B|A)\) 和 \(P(A|B)\) 在邏輯上的不同給忽略了。

這是一個常犯的錯誤，舉例來說：某數學家做愛滋病毒HIV篩檢，醫師告訴他：「檢驗結果是陽性，我真的很遺憾，你只有千分之一的機會能活超過十年。」當下，數學家被醫生的死刑宣判震驚的一時無法言語，但片刻回復冷靜後，他以數學邏輯思維的方式進一步地問清楚醫生所判斷的機率值，才知道為什麼醫生說他只有千分之一的機會是健康的。原來，「千分之一」的意思是「不是愛滋病帶原者，但HIV檢驗結果呈現陽性的機會，是每 \(1000\) 個血液樣本中有 \(1\) 個。」，即 \(\frac{1}{1000}\)。 Continue reading →