- 波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉 2010/12/26
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。 Continue reading →- 數學家如何看待證明？ 2010/12/25
數學家如何看待證明？(How mathematicians perceive the status of proof?)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
在《幾何學：歐幾里得及其進一步發展》(Geometry: Euclid and Beyond) 一書中，作者Robin Hartshorne在導論章第１節中，提問 “What exactly is a proof?” (p.10)，然後，提出他自己的答案 (pp. 10-13)，頗有啟發性，值得數學教師參考。
- 排容原理（四） 2010/12/25
排容原理 (Principle of Inclusion and Exclusion)（四）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯連結：排容原理（三）
這是一系列關於排容原理文章的第四篇(最後一篇)，談排容原理的抽象形式及其推廣。
在前三篇文章中鉅細靡遺證明了排容原理，也詳細說明了高中數學牽涉到排容原理的部分。這篇文章是本系列的最後一篇，談排容原理的抽象形式，並連接到Mobius 互反律。期能幫有企圖心的師生開個頭，一窺高中數學背後的廣大理論。 Continue reading →
- 排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（三） 2010/12/24
排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（三）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯連結：排容原理（二）
這是一系列關於排容原理文章的第三篇。我們介紹兩個高中數學的經典問題–「Euler totient 函數 $$\phi(n)$$」與「有上界的重復組合」。
在上一篇文章中，我們證明了排容原理，然後求出錯列的個數。這篇文章中我們談兩個高中課堂教學必然面對到，但是卻一直講不清楚的問題。這兩個問題都要用到排容原理解釋，而且其實解釋非常容易。 Continue reading →
- 排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（二） 2010/12/22
排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（二）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯連結：排容原理（一）
這是一系列關於排容原理文章的第二篇，我們證明排容原理，以及導出錯列（derangement）的計數以及一些性質。
在上一篇文章中，我們說明了排容原理的敘述，也說明了 $$n$$ 個集合的排容原理並不能仿照三個集合的文氏圖“以此類推”而得。在這一篇文章我們來證明排容原理。底下集合都是有限集合，$$X$$ 是宇集（universal set），$$\overline{A}:=X-A$$ 表示 $$A$$ 的補集（complement），$$|A|$$ 表示 $$A$$ 的元素個數。
- 圓錐曲線中正焦弦的地位（The status of latus rectumin conics） 2010/12/07
圓錐曲線中正焦弦的地位（The status of latus rectumin conics）
台北市立西松高級中學數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯如果數學教師想要將圓錐截痕與高中教材中的定義方式作一連結，可以利用阿波羅尼斯的《錐線論》(Conics) 中所提到的相關內容。阿波羅尼斯(Apollonius of Perga, 約262 B. C. ~ 190 B. C.) 在《錐線論》卷一的第11、12、13命題，引入何謂拋物線、雙曲線與橢圓。
- 弧度 2010/12/07
弧度 (Radian)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯「為什麼要將度換成弧度？」筆者總是會碰到一、兩位好學的學生一臉困惑的追問著。度度量（degree）轉換成弧度量（radian）對一般高中生而言較不易接受， 即使學生已經能習慣性地按「\(180^\circ=\pi\) 弧度」單位換算，但是，對於弧度的概念可能是模糊不清的，尤其 \(\pi\) 本身是個無理數卻又能表示角的大小，學生在直覺上不易理解。 Continue reading →
- 廣義角的三角函數 2010/12/07
廣義角的三角函數 (The Trigonometric Functions of a Generalized Angle)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師 / 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯我們對角度的概念，除了銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）之外，當然還有大或等於 \(90^\circ\) 的角度，例如：時針的旋轉、車輪的轉動、地球的公轉…等普遍存在生活中的轉動現象。所以，原先定義在銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）條件下的三角函數，顯然無法涵蓋旋轉現象所涉及的角度範圍。但是，如何以更寬廣的角度來拓展銳角三角函數的定義呢？這個問題確實讓數學家傷透腦筋，解決之道正是直角座標系統！延拓的定義如下：
座標平面上，設 \(O\) 為原點，\(\theta\) 為標準位置角，在 \(\theta\) 的終邊上任取一點 \(P(x,y)\)，（\(P\) 不是原點），此時 \(xy\neq{0}\)，令 \(\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，廣義角的三角函數為： Continue reading →
- 數學家如何看待證明？ 2010/12/25
