另一個重要的無理數：e （Another important irrational number：e）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

現今高中一年級課程中的〈數與式〉單元裡，簡單地討論了數系家族中的各個成員。其中，無理數最令一般人感到陌生、無法捉摸。教材中除了介紹諸如 \(\sqrt{n}\) 以及 \(a+\sqrt{b}\) 類的常見無理數外，也介紹了大家熟知的無理數－圓周率 \(\pi\)。

然而，我們也知道，實數線上密密麻麻地佈滿了無窮多個無理數。換句話說，浩瀚的實數世界裡，除了上述常見無理數之外，想必尚有其它忝為人知的成員。除了 \(\pi\) 之外，另一個著名的成員為自然對數的底數 \(e\)。至於 \(e\) 是什麼東東呢？以下我們說分明。

由於 \(e\) 總喜歡藏身自然與生活中，所以我們先來考慮一個與複利有關的問題：假設本金為 \(1\) 單位，並以複利的方式計算。

若利率為 \(100\%\)，那麼 \(1\) 年後本利和為 \((1+1)^1=2\)。

若改成半年支付一次利息，則利率減半為 \(\frac{1}{2}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)

若改成四個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{3}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{3})^3=\frac{64}{27}\approx 2.370…\)

若改成三個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{4}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{4})^4=\frac{625}{256}\approx 2.441…\)

\(\cdots\)

以此類推，當利率變成原本的 \(\frac{1}{n}\)，支付次數變成 \(n\) 次，則 \(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{n})^n\)

如此，我們可或得一個數列〈\((1+\frac{1}{n})^n\)〉，其中 \(n\) 為自然數。  Continue reading →

集合的元素個數：無窮集合（三） The cardinality of a set: Infinite sets III
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：無窮集合（二） 

前文〈集合的元素個數：無窮集合（二）〉提到，實數的無窮為不可數無窮。那麼，在我們常見的數系或幾何例子裡，是否容易找到比實數更大的無窮呢？以幾何的觀點來看，實數對應於一維世界的直線，讀者可能會猜測，我們僅需將維度推廣，利用二維平面的實數數對，甚至三維空間的實數數對，想必可輕易造出更大的無窮。然而，事實並非如此！

首先，我們來討論下述問題：

問題一：已知兩條不等長的線段 \(L\) 與 \(M\)，長度分別為 \(l\) 與 \(m\)，且 \(l>m\)，那麼，哪一條線段上的點較多呢？

直覺上，必定會認為是長度較長者點的數量較多。然而，如圖一所示，為兩不等長線段，從圖形可看出這兩條線段上的點，存在一一對應的關係。此對應圖對任意兩線段皆適用。

圖一　兩條不等長線段上的點之間，存在一一對應關係

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集合的元素個數：無窮集合（二） The cardinality of a set: Infinite sets II
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：無窮集合（一） 

前文〈集合的元素個數：無窮集合（一）〉之中，我們討論了自然數、整數與有理數的個數，這些集合皆為可數集。而可數無限為基數最小的無限，我們一般將此基數命作 \({\aleph _0}\)（aleph與下標零，此符號可讀作阿列夫零）。

數學家康托爾提出了，構造出基數更大集合的方法：以一集合所有子集合為元素的新集合，其基數比原集合大。譬如說吧！令 \(S = \{ 1,2,3\}\)，則所構造出的新集合為：\(\{ \{ 1,2,3\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 1,2\} ,\{ 1,3\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\emptyset\}\)，它共包含了 \(8\) 個元素，而 \(8\)恰為 \(2^3\)。不難看出，原集合的元素個數為 \(n\)，則新集合的元素個數為 \(2^n\)。因此，我們可構造出一個基數為 \(2^{\aleph _0}\) 的新集合，如此可不斷地構造出更大的集合。
而我們把 \({\aleph _0}\)、\(2^{\aleph _0}\) 等涉及無窮集合的基數稱為超限基數（transfinite cardinal number）。

那實數呢？問題似乎變難了，不像整數或有理數易於排序，我們很難有系統地將實數重新排序，使其與自然數一一對應，換言之，實數的個數問題，顯得更難以掌握。所以，我們不禁懷疑，實數的個數與自然數一樣多嗎？  Continue reading →

集合的元素個數：無窮集合（一） The cardinality of a set: Infinite sets I
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：有限與無限

無窮集合元素個數相等的定義如下：

若兩個集合（無窮集合）之間存在一一對應關係，則這兩個集合的元素個數相等。

我們可藉此發現許多違反直覺的例子。首先，就直觀上來看，正整數的個數比正偶數的個數來得多，而正整數的個數也比完全平方數來得多，不過，我們依上述定義實際作對應與比較後，會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\2&4&6&8&10&\cdots&2n\end{array}\)

換言之，正整數的個數與正偶數的個數一樣多。類似地，我們也會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&\cdots&n^2\end{array}\)

因此，正整數的個數與平方數的個數一樣多。這是不是既違反直覺又不可思議呢？ Continue reading →

條件機率(3)：一個問題的澄清（Conditional Probability (3)：Clarifying a problem）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：條件機率(2)：乘法定律

再次重述在〈條件機率(2)：乘法定律〉中所提出問題：

某人拜訪有兩個孩子的一對夫婦，當場已有一個男孩在座。假設生男生女的機會相等，求此夫婦兩小孩皆為男孩的機率？

或許幾經思考，這個問題總讓你聯想對應到〈條件機率(1)：定義〉中提及的某個典型的例題：

投擲公正硬幣兩次，已知擲出一次正面的情形下，求投擲兩次皆為正面的機率。

那麼，何以機率為 \(\frac{1}{3}\)，這個看來似乎正確答案值得商榷？這正是本文的目的，透過這個問題的討論，希望能夠建立起將機率應用在實際生活問題時，需要更加小心的印象。以下容我們加以說明原由。

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條件機率(2)：乘法定律（Conditional Probability (2)：Multiplication Law）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：條件機率(1)：定義

在回答〈條件機率(1)：定義〉最後留下的問題前，

我們再來看條件機率的定義：\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)，\(P(A)>0\)。

將式子整理可得 \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\)

這個式子說明著：事件 \(A\) 和 \(B\) 兩事件同時發生的機率，會等於事件 \(A\) 發生的機率乘上在 \(A\) 發生的條件下事件 \(B\) 發生的機率。它不僅揭示了討論條件機率的必要性，也告訴我們數個事件同時發生的機率，該如何依次處理。進一步，我們能推論下列式子都是成立的：

(1)   若 \(P(B)>0\)，\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right)\)

(2)   若 \(P(A \cap B) > 0\)，\(P\left( {A \cap B \cap C} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\)  Continue reading →

條件機率(1)：定義（Conditional Probability (1)：Definition）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

條件機率(Conditional Probability)，如同字面意義，是在假設某事件發生的條件下，考慮原本事件發生的機率。例如，投擲公正硬幣兩次，出現兩次正面的機率為 \(\frac{1}{4}\)。若我們加上「已知第一次擲出正面」的條件的話，那麼出現兩正面的機率將變成 \(\frac{1}{2}\)。事實上，若是掌握條件機率的定義，倒也不難理解箇中變化：

設 \(A,B\) 為兩事件且 \(P(A)>0\)。
在事件 \(A\) 發生的情況下，事件 \(B\) 發生的機率的條件機率，以 \(P(B|A)\) 表示，
且定義 \(\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)。

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從複數到三角函數公式(II) (From complex number to trigonometric function formulas)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

連結：從複數到三角函數公式(I) 

證明：

(1) \(\displaystyle\sin \theta+ \sin 2\theta+\cdots+ \sin n\theta= \frac{{\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{n\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)

(2) \(\displaystyle\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots+ \cos n\theta= \frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2}\cos \frac{{(n + 1)\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)

第二種證明方法：利用複數的概念。

我們可以使用歐拉公式 \({e^{i\theta }}= \cos \theta+ i\sin \theta\)，

若將 \(\theta\) 以 \(-\theta\) 代入可得 \({e^{ – i\theta }}= \cos \theta- i\sin \theta\)，

可得 \(\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle \cos \theta= \frac{{{e^{i\theta }}+ {e^{ – i\theta }}}}{2}\\\displaystyle\sin \theta = \frac{{{e^{i\theta }}-{e^{ – i\theta }}}}{{2i}} \end{array} \right.\)，變換變數得 \(\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\cos \frac{\theta }{2} = \frac{{{e^{\frac{{i\theta }}{2}}} + {e^{\frac{{ – i\theta }}{2}}}}}{2}\\\displaystyle\sin \frac{\theta }{2} = \frac{{{e^{\frac{{i\theta }}{2}}} – {e^{\frac{{ – i\theta }}{2}}}}}{{2i}} \end{array} \right.\)

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