- 馬可夫生平簡介(2)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 2） 2014/01/13
馬可夫生平簡介(2)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 2）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師連結：馬可夫生平簡介(1)
1905 年馬可夫退休後，他持續機率理論的研究，並開始專注在後來被稱為「馬可夫鏈 (Markov chain)」的問題上。當時馬可夫努力想要建立適用於一般情況下的機率極限法則，並同時推展某些理論的應用。
1906 年，馬可夫提交一篇論文〈大數法則在相依變數上的推廣〉(The Extension of the Law of Large Numbers on Mutually Dependent Variables)，後人所稱的「馬可夫鏈」或是「馬可夫矩陣」，就是首次出現在這篇論文之中。此後，馬可夫陸續發表幾篇有關這主題的論文，不但得到各種一般化的結果，也導出在某些條件限制之下，中央極限定理是成立的。 Continue reading →
- 馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1） 2014/01/13
馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在高中時就展露數學上的天賦與興趣，寫了他生平第一篇數學論文。雖然這篇論文並不是新的創見，但已經深深吸引到兩位聖彼得堡大學的數學教授科爾金 (Aleksandr Korkin, 1837~1908)與佐洛塔瑞夫 (Yegor Ivanovich Zolotarev, 1847~1878)的目光，後來馬可夫不僅進入聖彼得堡大學就讀 (1874年)，還參加了這兩位教授專為優秀學生開設的研討班。 Continue reading →
- 可逆矩陣（Invertible Matrix） 2014/01/12
可逆矩陣（Invertible Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師連結：矩陣乘法的限制及性質
在了解何謂矩陣、矩陣的基本運算及乘法的限制後，我們知道矩陣並沒有消去律，也就是當 \(AB=AC\)（或 \(BA=CA\)）時，\(B=C\) 不一定成立（註1）。
沒有消去律在運算上是一件很不方便的事，當有了 \(AB=AC\) 卻得不到 \(B=C\)，就好比兩個人從山的兩側挖隧道，預計在中點處貫通，當兩個人都挖了相同的距離之後，竟發現隧道不一定會相通，那接下來麻煩可就大了！
所以，很自然地，我們就會想知道怎麼樣才能保證隧道會貫通，也就是說在哪些情況下，\(AB=AC\) 兩邊的 \(A\) 是可以消去的？ Continue reading →
- 從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization） 2014/01/11
從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師特徵值與特徵向量
在〈矩陣乘法的限制及性質〉一文中，我們知道矩陣乘法的特殊性開啟了許多的可能性，比如說兩個均不為零方陣的同階方陣，相乘之後竟然可以是零方陣。接下來我們要看的是矩陣乘法的另一種重要應用，讓我們先從簡單的二階方陣看起。
給定方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 3&2 \end{array}} \right]\)，哪些 \(2\times 1\) 階矩陣 \(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1}}}\\ {{x_{2}}} \end{array}} \right]\) 會滿足 \(A \cdot X = \lambda\cdot X\)，
其中 \(\lambda\) 是實數，而非矩陣。
方程式 \(A \cdot X =\lambda\cdot X\) 的意義就是 \(X\) 在乘以 \(A\) 之後，會變成原來的 \(\lambda\) 倍。 Continue reading →
- 矩陣乘法的限制及性質（Constraints and Properties of Multiplication of Matrix） 2014/01/11
矩陣乘法的限制及性質（Constraints and Properties of Multiplication of Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師矩陣乘法的限制
讓我們先回到〈矩陣的運算〉中乘法的例子：
當兩個矩陣相乘，我們要將前一個矩陣第一列的元與後一個矩陣第一行的元，依順序相乘後相加，所得就是新矩陣第一列第一行的元，也就是 \(3\times 10+1\times 50+0\times 20=80\)。依此規則，就可以求得兩個矩陣相乘後的每一個元。 Continue reading →
- 二階方陣的凱萊─漢米爾頓定理（The Cayley-Hamilton Theorem for 2×2 Matrices） 2014/01/10
二階方陣的凱萊─漢米爾頓定理（The Cayley-Hamilton Theorem for 2×2 Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 求解對我們來說一點都不困難，公式解 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
想必不少人都能夠琅琅上口。現在讓我們將方程式的想法，推廣應用到矩陣，會不會有什麼美妙的事情發生呢？直觀來看，若將未知數 \(x\) 看成 \(1\times 1\) 階方陣，結論並沒什麼不同。
但若將未知數 \(x\) 換作其他階的方陣，那結果可就很有趣囉！讓我們先看看二階方陣的例子。 Continue reading →- 一題有趣的矩陣試題（An Interesting Question of Matrix） 2014/01/10
一題有趣的矩陣試題（An Interesting Question of Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師「設 \(A=\begin{bmatrix} 1 &4\\3 & 2\end{bmatrix}\) ，且二階方陣 \(X\)、\(Y\) 滿足 \(X+Y=I\) 且 \(XY=O\)，
其中 \(I=\begin{bmatrix} 1 &0\\0 & 1\end{bmatrix}\) 、 \(O=\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}\) 。若存在實數 \(a>b\) 使得 \(A=aX+bY\)，
求 \(a\)、\(b\) 之值。」上面這個題目曾多次出現在不同的考試之中（敘述略有出入），而無論是哪一份試卷，絕大多數的考生都是被考倒的。以下提供四種不同層次的解法，供讀者參考。
解法一：（努力計算）
\(\begin{cases} X+Y=I\\aX+bY=A\end{cases}\Rightarrow\) 解聯立得 \(\begin{cases} X=\frac{A-bI}{a-b}\\Y=\frac{A-aI}{b-a}\end{cases}\)，因為 \(XY=O\)，
故 \(\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{-(a-b)^2}\begin{bmatrix} 1-b &4\\3 & 2-b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1-a & 4\\ 3 & 2-a\end{bmatrix}\Rightarrow b=3-a\)
代入 \((1-b)(1-a)+12=0\Rightarrow a^2-3a-10=0 \Rightarrow (a,b)=(5,-2) or (-2,5)\)
又 \(a>b\) ，故 \((a,b)=(5,-2)\) 。
上述解法就是將 \(X\)、\(Y\) 用 \(A\) 表示後，再利用 \(XY=O\) 解出 \(a\)、\(b\) 。
基本上都是在做計算，看不出此題背後的數學結構為何。 Continue reading →
- 矩陣（Matrix） 2013/11/27
矩陣（Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師摘要：本文介紹何謂矩陣及矩陣的相等。
我們經常將許多資料以表格的方式呈現，不僅易於掌握資料，也利於後續的分析。如右表是某家工廠每一季銷售甲、乙、丙三型產品的數量，從表格中我們不僅可以知道每一季的銷售總量，更可以很快地掌握到甲型產品不會受到季節性因素的影響，銷售量大抵上都是10個左右；至於乙、丙型的產品，顯然就與季節性因素有很大的關聯，一個是逐季遞增，另一個恰好相反，是逐季遞減。如果這種銷售趨勢在不同的年度不會有太大的改變，那工廠負責人就可以據此來準備生產所需的零件，甚至是工廠工人的工作時數等等。
- 馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1） 2014/01/13