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  • 微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎（First Course in Calculus－A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus） 2011/01/11

    微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎（First Course in Calculus－A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus）
    國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

    連結：微積分初階－歷史發展的眼光（7）牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法

    運動現象的研究是牛頓關切的核心問題，從而揭開微積分之謎。下面我們就利用高速公路上的車子之運動來解說這一切。

    台灣的高速公路從基隆到高雄、屏東，是歪七扭八的，但是我們可以想像把它拉直（作個想像的實驗！）得到一條直線。再將直線上每一點都賦予一個笛卡兒坐標，使得兩點的坐標差就代長了高速公路上相應兩個地點之間的里程（距離）。這是真實的高速公路的抽象化、理想化或模型。 Continue reading →

  • 微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分（First Course in Calculus－A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration） 2011/01/10

    微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分（First Course in Calculus－A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration）
    國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

    連結：微積分初階－歷史發展的眼光（8）牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎

    這一節我們介紹萊布尼茲如何由差和分走到微積分。關於發明微積分這件事情，萊布尼茲走著跟牛頓不同的路徑，但是殊途同歸。按數學常理，我們先從最簡單的情況思考起，亦即線段的差和分。 Continue reading →

  • 微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數（First Course in Calculus－A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity） 2011/01/09

    微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數（First Course in Calculus－A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity）
    國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

    連結：微積分初階－歷史發展的眼光（9）萊布尼茲從差和分連續化得到微積分

    甲、極限

    極限概念是用來從「有涯」飛躍到「無涯」的工具。對於它，我們採取直觀的了解，因為這差不多是人類的良知良能。但是極限的嚴格定義，即函數的極限之 $$\varepsilon-\delta$$ 定式以及數列的極限之 $${\varepsilon}-N$$ 定式，對初學者來說又是一件艱難的事情，跟無窮小量不相上下。總之，要征服「無窮步驟」，不論是採用「無窮小量的論述法」或「極限的論述法」都會有基本上的困難。 Continue reading →

  • 微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral） 2011/01/08

    微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）
    國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

    連結：微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數

    甲、微分

    採用極限的論述法來定義導數就是：

    【定義２】（導數定義的四部曲）

    給一個函數 $$y=F(x)$$，我們按下列四個步驟操作：

    • $$(\mathrm{i})$$ 分割：讓獨立變數 $$x$$ 變化 $$\Delta{x}$$ (可正也可負)
    • $$(\mathrm{ii})$$ 求差：對應的應變數 $$y$$ 就變化 $$\Delta{y}\equiv\Delta{F(x)}\equiv{F(x+\Delta{x}-F(x)}$$
    • $$(\mathrm{iii})$$ 求牛頓商：$$\Delta{y}/\Delta{x}$$
    • $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

    如果這個極限值存在，就稱函數 $$F$$ 在 $$x$$ 點為可微分（differentiable）。記此極限值為 $$DF(x)$$ 或 $$\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$，並且稱為 $$F$$ 在 $$x$$ 點的導數（derivative）。如果函數 $$F$$ 在定義域的每一點都可微分，那麼我們就稱 $$F$$ 為一個可微分函數（a differentiable function）。導數的幾何意義就是「切線的斜率」。

    【註】利用極限來計算導數，常見的變形有：

    $$\displaystyle DF(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{u\to x}\frac{F(u)-F(x)}{u-x}$$

    採用無窮小量的論述法來定義的導數就是：

    【定義３】（導數的定義）

    $$\displaystyle DF(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}$$

    但在做實際計算時，要注意：先是 $$dx\neq{0}$$，然後又 $$dx=0$$ 的規則。

    【例11】設 $$F(x)=x^2$$，求 $$DF(x)$$。
    【解答】

    $$(\mathrm{i})$$ 無窮小量的論述法：

    $$\displaystyle DF(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx=2x$$
    或 $$dF(x)=F(x+dx)-F(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=2xdx$$
    $$(18)$$

    上述的演算規則是：當一個有限量 $$DF(x)$$ 是由一個有限量 $$2x$$ 加上一個無窮小量 $$dx$$ 時，是加之不增的，故 $$2x+dx=2x$$，亦即 $$dx$$ 棄之可也。其次，當一個無窮小量 $$dF(x)$$ 是由一個無窮小量 $$2xdx$$ 加上一個更高階的無窮小量 $$(dx)^2$$ 時，後者棄之可也。

    $$(\mathrm{ii})$$ 極限的論述法：

    $$\begin{array}{ll}DF(x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x~~~~~~~~~(19)\end{array}$$

    許多人無法接受無窮小量的論述法，而喜歡極限的論述法。其實，我們看出這兩種論述法是殊途同歸，而且比較 $$(18)$$ 與 $$(19)$$ 兩式就知每一步都有互相的對照。在禪宗裡，有「北漸南頓」之分，仿此我們就說：極限的論述法是「漸悟派」，透過極限操作以有涯逐無涯；無窮小量的論述法是「頓悟派」，直接飛躍到無涯彼岸，請出無窮小量，幫忙完成微分。

    【例12】給一個單位正方形，在四個角上都截去相同的小正方形，將剩餘部份折成一個沒有蓋子的長方體容器。欲使其容積為最大，求截去小正方形的邊長。

    【解答】假設截去小正方形的邊長為 $$x$$，則長方體容器的容積為

    $$V(x)=x(1-2x)^2=4x^3-4x^2+x$$

    微分（參見例4）得到

    $$V'(x)=12x^2-8x+1$$

    解方程式 $$V'(x)=12x^2-8x+1=0$$，即解 $$(2x-1)(6x-1)=0$$，得到

    $$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ 或 $$\displaystyle x=\frac{1}{6}$$

    其中 $$x=1/2$$ 不合，因為整個正方形都被截光。因此 $$x=\frac{1}{6}$$ 就是所求的答案。

    【習題７】在半徑為 $$1$$ 的球面裡，內接一個正圓錐使其體積為最大。試求此正圓錐的底半徑與高。

    乙、定積分

    【定義4】（積分定義的四部曲）

    給一個函數 $$y=f(x)$$，我們按下列四個步驟操作：

    • $$(\mathrm{i})$$ 分割：$$a=x_1<x_2<x_3<\mbox{…}<x_{n+1}=b$$，記 $$\Delta{x_k}\equiv{x_{k+1}}-x_k$$，$$k=1,2,\mbox{…}n$$
    • $$(\mathrm{ii})$$ 取樣：在每一小段中任取一點 $$\xi\in[x_k,x_{k+1}]$$，$$k=1,2,\mbox{…},n$$
    • $$(\mathrm{iii})$$ 求近似和：$$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，叫做 Riemann和
    • $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，此地的極限是讓每一個 $$\Delta{x_k}\to{0}$$。

    如果極限 $$\displaystyle\lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)$$ 存在，且跟分割與樣本點的取法無關，則稱函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上為可積分（intergrable），記此極限值為 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$。

    【註解】

    1. 微分的定義是：分割，求差，求牛頓商，取極限。積分的定義是：分割，取樣，求近似和，取極限。兩者同樣都是四個步驟。其實，此地的積分因為有上下限，所以應該叫做定積分（definite integral），以別於以後要介紹的不定積分（indefinite integral）。
    2. 定積分有時需要用不同的變數來表達：$${\int}_a^b{f(x)}dx={\int}_a^b{f(t)dt}={\int}_a^b{f(u)}du$$。因此積分的變數叫做啞變數（Dummy variable）。
    3. 面積的幾何解釋：若 $$f(x)\geq{0},\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 表示由函數 $$y=f(x)$$ 的圖形、$$x$$ 軸、直線 $$x=a$$，$$x=b$$ 所圍成領域的面積。一般情形，當 $$f(x)$$ 的值有正負時，$${\int}_a^b|f(x)|dx$$ 才是面積。

    【定理６】若函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，則定積分 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 存在。

    連結：微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理

    參考文獻：

    1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
    2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
    3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
    4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
    5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
    6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963
  • 微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus） 2011/01/07

    微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus）
    國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

    連結：微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義

    微積分最重要且最核心的「微積分學根本定理」。求切線與求面積兩者表面上很不同，實則關係密切。

    【定理7】（微積分學根本定理, the Fundamental Theorem of Calculus, FTC）

    假設函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，那麼就有：

    • $$(\mathrm{i})$$ 微分與積分的互逆性：令 $$G(x)={\int}_a^x{f(t)}dt$$，則 $$DG(x)=f(x),~~\forall{x}\in[a,b]$$
    • $$(\mathrm{ii})$$ N-L公式：若 $$DF(x)=f(x),\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)$$ Continue reading →
    • 微積分初階－歷史發展的眼光（13）一法二念二義一理（First Course in Calculus－A Historical Approach 13. One method and two concepts and Two definitions and One theorem） 2011/01/06

      微積分初階－歷史發展的眼光（13）一法二念二義一理（First Course in Calculus－A Historical Approach 13. One method and two concepts and Two definitions and One theorem）
      國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

      連結：微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理

      總結本文所述，微積分的初階可以用一句標語來概括：

      一法二念二義一理（$$1221$$，是一個廻文數）

      進一步說明就是：一個方法，兩個概念，兩個定義，一個定理。 Continue reading →

    • 仰角（Angle of Elevation） 2010/12/27

      仰角（Angle of Elevation）
      國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

      三角測量法中，眼睛往上看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為仰角，如圖一所示，而仰角的求法可以透過仰角器或天文仰角儀得到。

      例如：圖二所示為臺灣地區的最高大樓－台北101，由距離台北101底 $$295$$ 公尺地上的一點，測得台北101的仰角是 $$60^\circ$$。求台北101的高度。（答案準確至最接近的整數。） Continue reading →

    • 俯角（Angle of Depression） 2010/12/27

      俯角（Angle of Depression）
      國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

      三角測量法中，眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角，如圖一所示，而俯角的求法可以透過量角器得到。

      Continue reading →