多項式不等式（下）：高次不等式（Polynomial inequality(II): inequality of higher order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

連結：多項式不等式（上）

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是個 $$n$$ 次多項式，且係數都是實數時，
則 $$f(x)$$ 一定可以因式分解成實係數一次因式或實系數二次因式的乘積，

$$\begin{multline*}f(x)=a_n(x-{\alpha}_1)(x-{\alpha}_2)\mbox{…}(x-{\alpha}_k)(x^2-\beta_1x+\gamma_1)(x^2-\beta_2+\gamma_2)\\\mbox{…}(x^2-\beta_mx+\gamma_m)\end{multline*}$$

，其中 $$k+2m=n$$，且 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1=0$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2=0$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m=0$$ 均無實根（參閱拙文，〈實係數多項式方程式虛根成對定理〉），也就是說 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m$$ 均恆正。 Continue reading →

多項式方程式與代數基本定理（Polynomial equation and the Fundamental Theorem of Algebra）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

一元一次方程式 $$ax+b=0,a\neq{0}$$ 之解為 $$x=\frac{-b}{a}$$，

一元二次方程式 $$ax^2+bx+c=0,a\neq{0}$$ 之解為 $$\displaystyle{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$，

這兩者在國中數學中均已學過，也都作了不少練習。

那麼，三次以上又如何呢？$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$、$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$、$$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$$ 等等，到底有沒有解？有沒有公式解？這問題在數學史上是至為精彩的一章，從卡丹諾（Girolamo Cardano,1501~1576）與塔爾塔利亞(Nicolo Tartaglia,1500~1557)的恩怨情仇，到兩個英年早逝的天才數學家：衝動決鬥而身亡的伽羅瓦（Evariste Galois,1811~1832）與貧病交迫的阿貝爾（Niels Henrik Abel,1802~1829），有興趣的讀者上網搜尋相關資料閱讀。 Continue reading →

函數（Function）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

正方形面積公式：「正方形的面積等於其邊長的平方」。今天，我們換個角度來看這個小學生就會的公式，無論正方形的大小如何變化，只要邊長確定了，其面積也就唯一確定了，因為兩者之間有面積等於邊長的平方這層關係。這種關係，其實就是「函數關係」。以下我們用數學的術語來解釋何謂「函數」？ Continue reading →

除法原理、餘式定理與因式定理 (Theorem of division, remainder and factor)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

小學學除法時，一定學過：「被除數\(=\)除數\(\times\)商數\(+\)餘數」，這就是數的除法原理。開個玩笑，發音發得不標準，聽起來就像是「被除式\(=\)除式\(\times\)商式\(+\)餘式」，數的除法原理就變成多項式的除法原理了。 Continue reading →

勘根定理 (Determination of roots)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一 $$n$$ 個次實係數多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們每代入一個 $$x$$ 值，就可得到一個數對$$(x,f(x))$$，那麼，只要有足夠多這樣的數對，將它們視作坐標平面上之點而畫在坐標平面上，就可以大致得到 $$f(x)$$ 的圖形。

事實上，實係數多項式的圖形是一條直線或一條連續的曲線（簡單地說，就是沒有斷掉的曲線），這必須透過高三的微積分課程內容才能說得明白，在此，就請還沒學過微積分的讀者先接受此一性質。 Continue reading →

插值多項式 (Interpolating polynomial)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

例題1：在坐標平面上給定三個點 \(A(1,-2)\)，\(B(2,3)\) 與 \(C(3,12)\)，如何找到一個二次多項式使得其圖形通過這三個點？ 

解此題最簡單的想法，不外是假設所求多項式\(f(x)=ax^2+bx+c\)，

然後將 \(A\)，\(B\)，\(C\) 三點代入，得三元一次聯立方程式 \(\begin{cases}-2=a+b+c\\3=4a+2b+c\\12=9a+3b+c\end{cases}\) ，

利用加減消去法即可求得 \(\begin{cases}a=2\\b=-1\\c=-3\end{cases}\)，即所求 \(f(x)=2x^2-x-3\)。

這方法不錯，但有個缺點，就是要假設三個未知數，然後辛苦地解聯立方程式。今若將題目改成：

例題2：在坐標平面上給定四個點 \(A(1,10)\)，\(B(2,26)\)，\(C(3,58)\) 與 \(D(4,112)\)，如何找到一個三次多項式使得其圖形通過這四個點？ Continue reading →

實係數多項式方程式虛根成對定理 (Pair of imaginary roots in a polynomial equation with real coefficients)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師\國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一個 $$n$$ 次實係數多項式 $$f(x)=a_n{x^n}+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們分別將 $$x$$ 用一個複數及它的共軛複數代入，那會有什麼結果？

例如：若 $$f(x)=3x^2+2x+1$$，分別用 $$x=1+i$$ 與 $$x=1-i$$ 代入，得到 $$\begin{cases}f(1+i)=3(1+i)^2+2(1+i)+1=3+8i\\f(1-i)=3(1-i)^2+2(1-i)+1=3-8i\end{cases}$$，發現 $$f(1+i)$$ 與 $$f(1-i)$$ 兩者是共軛複數。這並不是特例，而是一般的實係數多項式都會有的性質，下面我們用數學符號將這個性質寫出來：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，

$$z$$是複數，則 $$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$$。

證明：

$$\begin{array}{ll}f(\overline{z})&=a_n(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n}+\overline{a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}}+\mbox{……}+\overline{a_1\cdot{z}}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n+a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}+\mbox{……}+a_1\cdot{z}+a_0}\\&=\overline{f(z)}\end{array}$$

利用這個性質可以知道，如果 $$f(z)=0$$，那 $$f(\overline{z})$$ 也會是 $$0$$。換句話說，如果 $$x=z$$ 是 $$f(x)=0$$ 的一個根，那 $$x=\overline{z}$$ 也會是根。這就是「實係數多項式方程式虛根成對定理」：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a_1{x}+a_0=0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式方程式，
$$\alpha$$ 與 $$\beta$$ 是實數，若 $$x=\alpha+\beta{i}$$ 是 $$f(x)=0$$ 的根，則 $$x=\alpha-\beta{i}$$ 也是 $$f(x)=0$$ 的根。

利用「實係數多項式方程式虛根成對定理」與「代數基本定理」，我們馬上可以得到「奇數次實係數多項式方程式至少有一個實根」。道理其實簡單，由「代數基本定理」可知奇數次實係數多項式方程式的根是奇數個（個數就是$$x$$的最高次方），再由「實係數多項式方程式虛根成對定理」，知道這奇數個根中的虛根一定兩兩成對，所以，最後至少會有一個落單，而落單的根必是實根。事實上，若將 $$k$$ 重根計 $$k$$ 成個根的話，那我們還可以知道奇數次實係數多項式方程式的實根必定是奇數個。例如，若$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$$是三次實係數方程式，那麼它的根不是三個都是實根，就是一個實根與兩個互為共軛複數的虛根。

除了可以進一步了解奇數次實係數多項式方程外，對於一般的實係數多項式方程式，我們還可以得到一個重要的推論：「任一個實係數多項式方程式一定可以因式分解成實係數一次因式或實係數二次因式的乘積。」理由如下：

假設 $$n$$ 次實係數多項式方程式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 的
實根為 $$\alpha_1, \alpha_2,\mbox{……}, \alpha_k$$，虛根為 $$\beta_1,\overline{\beta_1},\beta_2,\overline{\beta_2},\mbox{……},\beta_m,\overline{\beta_m}$$，
其中 $$k+2m=n$$，則 $$f(x)$$ 可因式分解成

$$\begin{array}{ll}f(x)&=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)(x-\beta_1)(x-\overline{\beta_1})(x-\beta_2)(x-\overline{\beta_2})\mbox{…}(x-\beta_m)(x-\overline{\beta_m})\\&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)[x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}]\mbox{…}[x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}]\end{array}$$

其中 $$x-\alpha_1$$，$$x-\alpha_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x-\alpha_k$$均為實係數一次式，$$x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}$$，$$x^2-(\beta_2+\overline{\beta_2})x+\beta_2\cdot\overline{\beta_2}$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}$$均為實係數二次式。

綜合除法 (Synthetic Division)
臺北市立中山女高數學科陳啟文老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

綜合除法基本上就是多項式長除法 (Long Division) 的簡化過程，將計算的算式，巧妙的省略與排列後，藉由簡單且重複的操作，可以找出多項式的一次因式，也可以計算多項式函數的函數值。

例如，我們要計算多項式 \(3x^3-3x^2+8x-3\) 除以 \(x-2\) 的商式與餘式，其簡化的過程如下圖所示： Continue reading →