重複組合（一）：相關課程之統整與反思
Combination with repetition (I)：Integration and reflection of related curriculum
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

現今課程綱要的排列組合單元裡，重複組合是較困難的概念。特別是多次利用一一對應原理，將求原問題的組合數，轉換成求方程式的非負整數解個數，最後再轉換成組合公式計算出其數。雖然可得公式，但此組合公式與原情境的直觀連結不易。因此，本文的第一部份，先簡單回顧統整重複組合相關概念與問題。第二部份，則對重複組合的公式提出另一直觀的解釋。

首先，從甲、乙、丙、丁、戊共 \(5\) 件相異物（或 \(5\) 個人）中任選三物（或 \(3\) 個人），這是一般的組合問題，其方法數為 \(C_3^5\)。其中的每物或每人選可被選中一次，例如：「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等皆為可能的情況。而所謂的重複組合問題，即是每物或每人皆可重複地被選取，換句話說，可能選出的人選為「甲甲乙」或者「丁丁丁」等情況，當然也包含了上述「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等三種情況。不難看出，放寬到可重複選取的情況時，可能的組合數明顯變多了。而一般組合與重複組合最大的差異，在於被選的對象是否可重複地被選取。 Continue reading →

 從數學建模觀點看最「適配」直線(二)
（The best fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

連結：從數學建模觀點看最「適配」直線(一) 

當我們觀察某組二維數據之散佈圖後，若發現這兩變數間呈現出正比趨勢，或具高度的直線相關時，自然會聯想到利用直線 \(y=\beta_0+\beta_1x\) 模型來適配這組二維數據。

假設這條理想的直線為 \(y=\beta_0+\beta_1x\)，數學上一般會利用最小平方法（least squares method）來探求此理想直線的參數 \(\beta_0\) 與 \(\beta_1\)。統計學裡，將每一筆資料 \((x_i,y_i)\) 的觀察值 \(y_i\) 與此直線的垂直差距稱為「殘差（residual）」，當然殘差平方越小，表示該筆資料與最佳直線的垂直距離也越小，即越接近該直線。

因此，直觀上我們不難想像，當一條直線能使得所有資料的殘差平方和越小，則此直線越「適配」這組資料，亦即適配度越佳（goodness of fit）。而所謂的最小平方法，本質上即是使得所有殘差之平方和最小時，所得之直線，此直線即為一般所謂的迴歸直線、最小平方直線或也被稱為最適配直線、最佳直線等。例如圖一當中的紅色直線即為這些數據的最適配直線，而藍色線段所示即當中某些資料 \(y_i\)的殘差。  Continue reading →

從數學建模觀點看最「適配」直線(一)
（The best-fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

二千年前，天文學家托勒密 (Ptolemy, c.90-c.168) 的地心說，以地球為中心建立了太陽依圓形軌道繞地球運轉的天體運動模型，更一般性地，他在《天文學大成》（Almagest）一書中闡述了天體的運動軌跡為大圓的數學模型。

到了十六世紀天文學家哥白尼 (Copernicus, 1473-1543) 則改成以太陽為中心，地以圓形軌道繞日運行，大大簡化了模型的複雜度（將托勒密理論中的均輪和周轉圓，從原本的77個化減化34個）。

再到十七世紀克卜勒 (Kepler, 1571-1630) 除了接受哥白尼的日心說之外，依據其老師弟谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 的大量觀測數據，進一步建立了地球以橢圓形軌道繞太陽運行的天體運動定律，而這樣的數學模型更為「簡潔」而且「漂亮」。上述大家耳熟能詳的例子，都是現實生活與天文學研究中的數學建模實例。 Continue reading →

邏輯連詞「非」與笛摩根定律(The quantifier “not” and De Morgan’s laws)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

〈數學述句與邏輯連詞〉一文中，介紹了數學敘述與重要的邏輯連詞「且」、「或」與「非」。其中的「非」具是否定的意思，其宣告某個特定的敘述句為假。當「且」、「或」與「非」這三個邏輯連詞進一步混合使用時，會擦出什麼樣的火花呢？

更具體而言，複合敘述 \(P\land Q\) 與 \(P\lor Q\) 的否定敘述又是什麼意思呢？

例如下列敘述句  (3是奇數)\(\land\)(2是質數) 的否定敘述為何意呢？

(3是奇數)\(\land\)(2是質數)代表的是「3是奇數」與「2是質數」需同時成立，
因此，只要兩者之中有一項不成立，或兩者都不成立，即否定了原敘述。
如此來，無論「(3不是奇數)\(\land\)(2是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」
以及「(3不是奇數)\(\land\)(2不是質數)」都否定了原敘述「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」；
換言之，「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」的否定敘述「非(3是奇數\(\land\)2不是質數)」
包含了「非(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」
以及「非(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」等情形。
因此，非「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」之意等同於「非(3是奇數)\(\lor\)非(2不是質數)」之意。
一般而言，我們可以證明 \(\neg(P\land Q)\) 等價於 \(\neg P\lor \neg Q\)。 Continue reading →

數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

如〈數學敘述與邏輯量詞〉一文所述，一般數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

有了這四類敘述句之後，加上邏輯連詞「且」、「或」與「非」之後，便能造出新的敘述句。

一般而言，我們會以符號「\(\land\)」代表「且」的意思；以符號「\(\lor\)」代表「或」的意思。

其中，\(P\land Q\) 的意思是 \(P\) 與 \(Q\) 同時成立，\(P\land Q\) 也被稱為敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 的合取句(conjunctions)。必需滿足 \(P\) 與  \(Q\) 同時為真，敘述句 \(P\land Q\) 方為真。

例如(\(\pi\) 是實數)\(\land\)(\(2\) 是質數)此命題即為真，而(\(\pi\) 是有理數)\(\land\)(\(2\) 是質數)則為假。

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交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

每到聖誕節時，許多人喜歡舉辦交換禮物活動，假設總共有 \(n\) 個人參與，規定每個人各自帶來一件禮物，收集所有人的禮物後，便將禮物貼上編號，每個人再從中隨機抽出一樣禮物帶回家。總有人幸運地抽中自己心儀的禮物，也似乎常會有人不幸地抽中自己所帶來的禮物，真的是這個人運氣不好嗎？再者，若參與的每個人都沒有抽中自己的禮物是正常的嗎？

首先，我們從簡單的情況開始討論起。

當 \(n=1\) 時，必定拿回自己的禮物，所以機率為 \(P(A_1)=1\)（不過，一般應該沒有人自己和自己交換禮物）。

當 \(n=2\) 時，假設有 \(A_1\) 與 \(A_2\) 兩個人，各拿出 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物。
這時，想像隨機將 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物排列，其中的第一個位置代表 \(A_1\) 的禮物、第二個位置代表 \(A_2\) 的禮物，則有 \(G_1G_2\) 和 \(G_2G_1\) 兩種可能性。
換句話說，要嘛兩個人都拿到對方帶來的禮物，要嘛拿回自己禮物，而且兩者機率相同，因此，有拿回自己禮物的機率為 \(P(A_1\cup A_2)=\frac{1}{2!}\)，其中 \(P(A_1\cup A_2)\) 指的是 \(A_1\) 或 \(A_2\) 拿回自己禮物的機率。 Continue reading →

數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中數學課程中，介紹了什麼是數學敘述，以及「且」、「或」、「非」等邏輯連接詞。一般而言，數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

其它的數學敘述，只不過是上述四類形式中的敘述句，再利用「且」、「或」與「非」等邏輯連接詞，重新組合而成的新述句。 Continue reading →

矩陣列運算與基本矩陣
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中程程中，有關線性方程組與矩陣的相關單元裡，介紹了矩陣的三種基本的列運算：

1. 第 \(i\) 列與第 \(j\) 列互換，以 \(R_{ij}\) 表示。
2. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\)，以 \(rR_i\) 表示。
3. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\) 加到第 \(j\) 列去，以 \(rR_i+R_j\) 表示。

本文中，將矩陣列運算與基本矩陣作一連結，並藉此探討利用增廣矩陣以及列運算來求乘法反矩陣的方法。

首先，我們考慮二階方陣以及 \(2\times k\)階矩陣。

設二階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)  Continue reading →