虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！

在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。 Continue reading →

一次方程式解法
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

目前在中學數學課程的一次方程式單元，都涉及數學應用到現實世界的問題。因此，當我們發現歷史上，幾乎學習過數學的每一個人，從埃及的書記到中國的官吏都曾經發展出這類問題的求解技巧時，就沒什麼好驚訝的！

這些求解實質上都採用算術進路（arithmetic approach），也就是，他們都運用了算術的想法，解決實質上是代數的方程式問題。不約而同地，古埃及和古中國數學家都利用了所謂的「虛位法」（method of false position），有所不同地，是古埃及使用「單設法」(method of single false position)，而古中國則使用「雙設法」(method of double false position)。 Continue reading →

0 的發明
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

目前數學普及中譯書籍中有兩本與數目 0 有關：《從零開始》與《零的故事》。本文增補其中有關古代中國數學的相關內容。

在數學史上，$$0$$ 可以說是一個相當「年輕」的概念。對很多早期的人類文明來說，譬如古希臘哲學家畢達哥拉斯，數目（number）$$1$$ 並不是數目，而是萬事萬物的根本，頗有一點「道生一」的味道。這種認知並非僅限於哲學家而已，古希臘的歐幾里得 (Euclid) 也不例外，他在《幾何原本》中所定義的「自然數」（或整數，whole number），就是從 $$2$$ 開始的。

後來，$$1$$ 雖然也被納為自然數，但是，代表「全無」的 $$0$$ 概念，畢竟很難從代表「全有」的 $$1$$ 概念發展出來，希臘數學史就是最好的見證之一。平心而論，利用一個「有形的」實體（譬如「$$0$$」）去代表「沒有」或「空無」，的確是人類認知的一大躍進。 Continue reading →

位值計數系統（Positional numeration system）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文介紹位值記數系統的意義。

所謂的位值計數系統，必需滿足下列的條件：

1. 任何比 $$1$$ 大的自然數都可以用來當作基底 (base )。
2. 對於所有小於基底的整數，需要有一組互異的對應符號（當然包括 $$0$$）。譬如在以 $$10$$ 為基底的十進位值記數系統中，顯然需要一組包括 $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ 和 $$9$$ 等數碼符號。
3. 乘法位值法則 ( multiplicative place- value principle )：被寫在特別位置的位數（digit）表徵了這個位數所代表的數目（number）與對應於該位數的位置之基底的乘冪之乘積。譬如，$$3152$$ 中的位數 $$5$$ 即是代表了 $$5$$ 與 $$10^2$$ 之乘積，因為 $$5$$ 是十位數，所以基底 $$10$$ 必須取 $$2$$ 乘冪。
4. 加法法則 ( additive principle )：一個給定數碼所表徵的數目，即為 $$(3)$$ 之中所有乘積之總和。
5. 延拓此一系統以包含分數的想法。
6. 使用符號 (一個點或逗號) 來區別任一個數碼的整數部份與分數部份之想法。譬如 $$3+(1/10)$$ 可以表示為 $$3.1$$ 或 $$3,1$$。

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斐波那契及其兔子 (Fibonacci and his rabbits)
臺北市教育大學數學與資訊學系蘇意雯助理教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文介紹斐波那契(Leonardo Bonacci) 的生平及其著作，希望讀者得以理解他的《計算書》之創作背景。

一般人（包括科普作者）提及斐波那契時，都會引述以他的名字命名的數列 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$ 如何與兔子繁殖相關。不過，他的數學著作內容與名字之來源，恐怕就很少人留意。現在，我們就先澄清這兩個問題。

首先，科普作家當然都會提及斐波那契在1202年出版的名著《計算書》(Liber abbci)。然而，這本書一直都被誤解為討論算盤的書籍。這可能是因為它的拉丁文名銜 Liber abbci 直譯成英文，就是“Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的「算盤書」了。 Continue reading →

費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

費馬最後定理是一個響叮噹的名字，本文提供一個簡要的故事版本，希望有助於理解此一定理的解決過程之歷史意義。

費馬最後定理當然跟費馬有關，請先看費馬的故事。

費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）是數學史上公認最偉大的業餘數學家。他年輕時他就讀法學院，後來擔任法國城市土魯斯（Toulouse）的市議員。隨著經歷與職位的提升，最後成為土魯斯刑事法庭的成員。作為一位法官，費馬被大家認為頭腦清楚，但時常心不在焉。

從上述這個有關費馬生涯的片段，完全看不出為何直至今日我們仍會紀念他與談論他。我們會這麼做的理由，當然與他生命的另一面向有關。在費馬人生的某一時間點，或許是他在波爾多（Bordeaux）就讀大學的時候，他發現了數學，而這個發現成為他寄託終生的熱情所在。

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皮亞諾公設(Peano axiom)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

自然數的皮亞諾公設是數系的發展基礎，它簡要地說明了數學是一種基於公設的邏輯結構。

自然數的理論基礎，是數系發展的邏輯起點，對於十九世紀開始大力追求分析學嚴密化的數學家而言，當然至為重要。不過，這有賴於集合理論的系統性發展以及對於基數(cardinal number) 概念的進一步澄清，而這些都必須等到十九世紀後期康托爾 (Georg Cantor) 的相關研究之後，才開始萌芽。

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邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

有關邏輯的循環謬誤出現在非常基本的命題論證，本文提供了一般人視為理所當然的例子，供教師參考與借鑑。

美國加州公立數學課程綱要K-12的「論理嚴密」，一向廣受國內數學家推崇：因為他們指出：「數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟(intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。」 Continue reading →