半角公式(Half-Angle Formulas)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

一般說來，半角公式的推導常是透過倍角公式。由於

\(\cos 2\alpha= {\cos ^2}\alpha- {\sin ^2}\alpha= 2{\cos ^2}\alpha-1=1-2{\sin^2}\alpha\)

因此，

\({\sin^2}\alpha=\frac{{1 – \cos 2\alpha}}{2},{\cos^2}\alpha=\frac{{1+\cos 2\alpha}}{2}\)

令 \(\theta=2\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{\theta}{2}\) 代入，即得

\(\sin \frac{\theta }{2} =\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos\theta}}{2}} ,\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{{1 + \cos \theta}}{2}} \)

其中 \(\pm\) 依 \(\frac{\theta}{2}\) 所在的象限決定。至於倍角公式，則是由和角公式推得。
換言之，公式推導的順序是和角公式→倍角公式→半角公式。

然而，當我們檢視托勒密天文學集大成的著作《The Almagest》，他在為製作弦表所提出的一系列命題中，半角公式竟然比和角公式還要更早提出！ Continue reading →

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接著我們來看些可用「平面族」解決的問題吧！事實上，空間中的直線方程式可表成兩面式，因此，在求與直線條件有關的平面方程式問題上，「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子：

求包含$$x$$軸，且過點$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$軸上取一點$$B(1,0,0)$$，且$$x$$軸的方向向量為$$\vec{v}=(1,0,0)$$，

由於所求平面包含$$x$$軸，並過$$A(1,-1,2)$$，

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$，故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此，平面方程式為 $$2y+z=0$$

(解法二)
由於$$x$$軸的直線方程式可寫成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (兩面式)，

根據平面族定理，包含$$x$$軸的任意平面可以寫成$$y+kz=0$$，

將$$(1,-1,2)$$代入，得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以，平面方程式為 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

Continue reading →

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：

【証明】整個定理的証明可分為三部份：

1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。 Continue reading →

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：

求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。

基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：

兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)， 
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)

Continue reading →

改變歷史進程的17個方程式
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師編譯/國立臺灣大學物理系王名儒教授責任編輯

編譯來源：The 17 Equations That Changed The Course Of History

數學圍繞在我們四周，它在許多方面型塑(shaped)我們對這個世界的理解。

2013年，身為數學家，也是科普作者的伊恩．史都華(Ian Stewart)出版了《改變世界的17個方程式》(The 17 Equations that Changed the World)一書。近來，我們在Dr. Paul Coxon的Twitter (由數學輔導老師，也是部落客的Larry Phillips所註冊)上發現這個他摘錄書中方程式所成的簡便表格： Continue reading →

無限的觀念～0.9是否等於1？
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

一、前言

目前高中教材中，有兩個部分涉及「無限」。首先是數學I，在一開始介紹數系的時候，學生要學會將循環小數化成分數。

在此之前，學生從來沒有接觸過「無限」的概念，也沒學過無窮等比級數如何求和，因此教師通常都是這樣教的：例如要將 \(0.\overline{12}\) 化成分數，令 \(0.\overline{12}=x\)，因為

\(x=0.\overline{12}=0.121212…\)

\(100x=12.121212…\)

將兩式相減得 \(99x=12\)，因此 \(x=\frac{12}{99}\)

這樣計算推理邏輯有個前提必須是假設 \(0.\overline{12}=0.121212…\) 這個無限小數是收斂的，其收斂值存在才能假設它為 \(x\)，並且以 \(x\)去進行運算。

Continue reading →

由問題的起源看導數的定義II
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

連結：由問題的起源看導數的定義I

在前一篇文章中，我們已經看過費馬求極值的方法了，也就是當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)。

接下來我們來看看牛頓求切線的方法。

牛頓求切線的方法

下面的方法出現在牛頓的《曲線求積術》，撰寫於 1693 年，並於 1704 年作為《光學》一書的附錄正式發表。牛頓以求切線的策略與方法，說明他的「流數方法（即求導數的方法）」，並舉函數為 \(y=x^n\) 為例，實際演練操作他的方法。 Continue reading →

由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

前言

在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。

然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。

Continue reading →