初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質
（Elementary Probability Theory-8. Random Variables and Its properties）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（7）獨立事件的概念

摘要：本文分別介紹「離散型」與「連續型」機率分佈（probability distribution）中幾個重要的分佈：「二項分佈（binomial distribution）」、「Poisson分佈」、「常態分佈（normal distribution）」，進而導出其期望值與變異數。並將「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」以機率的語言重述之。

一個隨機實驗做下來，就有初等機率空間 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$，這是精煉隨機實驗所得到的原始機率資料。然而，我們有興趣觀測的往往是某個變量 $$X$$，定義在 $$\Omega$$ 上的一個實值函數 $$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$。這就是隨機變數的概念，在統計學上又叫做統計變量。$$X$$ 將 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$ 上的機率資料，重新改訂成方便於使用的資訊。例如丟兩個骰子，我們要觀測「點數和」是多少。在每一賭局中，賭徒要觀察輸贏額。 Continue reading →

初等的機率論（7）獨立事件的概念
（Elementary Probability Theory -7. The Concept of Independent Events）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式

摘要：本篇從兩個事件「獨立」的概念談起，給出兩個事件及 $$n$$ 個事件獨立的定義，並與排列組合的「乘法原理」連結。最後以兩個反例說明三個事件獨立所需滿足的條件。

機率空間是測度空間的特例，因此有人說機率論是測度論一章。不過，機率論卻有獨特的獨立性（independence）概念，它扮演著關鍵性的角色，從而得到豐富而美麗的機率結果，這使得機率論有別於測度論。

獨立性是機率論的核心概念，探索機率法則（laws of chance）時，我們經常會遇到如下的狀況：將一個銅板獨立地丟 $$n$$ 次，或一個隨機實驗獨立地作 $$n$$ 次。機率法則包括大數法則、Poisson小數法則與中央極限定理，這些都是機率論的重要結果。 Continue reading →

初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式
（Elementary Probability Theory-6. Conditional Probability and Bayes Formula）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（5）有限機率空間

摘要：本篇介紹何謂「條件機率(conditional probability)」，從而導出「機率的乘法公式」、「全機率公式(the total probability formula)」、以及「Bayes公式」，並分別舉例闡述其內涵。

在機率論中，條件式的思考是非常重要的一種思考方法。本節我們只介紹較簡單的條件機率（conditional probability）之概念。事件 $$A$$ 的機率 $$P(A)$$ 是在 $$\Omega$$ 鐵定發生的條件下，描述 $$A$$ 發生的機率。現在作推廣，假設已經知道事件 $$B$$ 發生了，要問事件 $$A$$ 發生的機率。照理說此時可能會跟 $$P(A)$$ 不一樣。我們先觀察一個例子。

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初等的機率論（5）有限機率空間
（Elementary Probability Theory-5. Finite Probability Space）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（4）機率論的甕模型

摘要：這裡針對隨機實驗所有可能出現結果為有限個的情形，探討其機率模型，並給出古典機率的定義，根據此定義及其衍伸的演算規則，舉出四個例子略作說明。

機率論研究的是隨機現象，例如丟銅板、骰子、量子力學、天氣、統計物理、命運、股票之漲跌、經濟的波動、…等等。機率論又是數理統計學與統計物理學與量子力學的基礎。

面對一個隨機現象，首先是對一個隨機現象作隨機實驗，可能是真的做實驗，也可能只是作個觀察（如天氣現象）。隨機實驗會發生什麼結果，事前說不準（uncertainty）。一個事件的發生與否也說不準，於是採用機率的語言來描述事件發生的可能性之大小，例如我們常聽說：明天下雨的機率是 $$30{\%}$$（$$= 0.3$$）；丟一個公正銅板出現正面的機率是 $$1/2$$；丟一個骰子出現三點的機率是 $$1/6$$。 Continue reading →

初等的機率論（4）機率論的甕模型
（Elementary Probability Theory-4. Urn Model for Probability Theory）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（3）兩個重要的不等式

摘要：本文從「機率論是虛，記述統計是實」的論點出發，以實例引導我們從「記述統計」進入「機率論」的世界。

現在我們先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。機率論是虛，記述統計是實。

為了說明這一點，我們就想像這種情形：我把去年學生的成績做了完整的記錄，將每一位學生都想像為一個球 $$\omega_k$$，並且寫上該生的分數 $$x_k$$，全部裝到一個甕（urn）$$\Omega$$ 之中，於是有 $$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_N\}$$，這叫做樣本空間（sample space）。 Continue reading →

初等的機率論（3）兩個重要的不等式
（Elementary Probability Theory-3. Two Important Inequalities）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（2）代表值與參差度

摘要：本篇介紹「機率論」裡兩個重要的不等式：「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」，讓我們更深入理解如何由「平均」與「標準差」知道資料分佈的狀態。

利用上述記述統計的簡單例子，我們馬上可以導出機率論裡兩個非常重要的不等式：Markov 不等式與 Chebyshev 不等式。它們是推導出（弱）大數法則之根據。 Continue reading →

初等的機率論（2）代表值與參差度
（Elementary Probability Theory-2. Various Means and Dispersion）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（1）母群體與統計變量

摘要：延續上篇的討論，本篇針對「記述統計學」面臨的兩個基本問題，介紹了代表整體數據的「算術平均（arithmetic mean）」、以及衡量代表值好壞的「變異數（variance）」或「標準差（standard deviation）」。

記述統計學最初的問題，可以很具體地來說明。如果校長問我：「他們這次期中考的成績怎麼樣？」，我該怎麼報告？給他整堆數據 $$\{x_1,x_2,\dots,x_N\}$$ 是無用的。

對於學生的家長我要答以他子女的成績就好了。對於校長，個別學生的成績他沒興趣聽，他要知道的是全班的概況，例如最重要卻也是最起碼的兩件事： Continue reading →

初等的機率論（1）母群體與統計變量
（Elementary Probability Theory-1. Population and Statistical variable）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

摘要：這一系列「初等的機率論」文章共有十篇，本文是第一篇，先從「記述統計學（Descriptive Statistics）」的角度出發，介紹母群體與統計變量的關係。

世界上到處都可以見到隨機現象（random phenomena），所謂隨機現象是指事先說不準會發生什麼結果（outcome）的現象。機率論（Probability theory）就是要定量地來研究隨機現象的一門數學。機率論最早發源於賭局（game of chance），賭徒想要知道輸贏的機率，以及有無必勝法。

機率論的另一個發源地是記述統計學（Descriptive Statistics, 又譯成敘述統計學）。了解記述統計學的概念，對於機率論的學習，大有助益，因為前者是具體的，易懂的，後者是抽象的，虛玄的。由具體走到抽象是一條不錯的道路。

最終，機率論又成為推理統計學的理論基礎。在隨機的說不準中，我們還是要以機率的語言，透過機率法則，定量地來述說我們感興趣的事件之機率。

因此，我們就先從記述統計學談起。 Continue reading →