- 無限與集合論（The infinite and set theory） 2011/03/31
無限與集合論（The infinite and set theory）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯集合論不只是集合的簡單運算而已，康托爾的創立此一理論之初衷，是想要藉此探索無限作為一個物件的特性。
「無限」可以區分大小等級，這是幾乎不可能想像得到的事物，因為這預設了無限可以視同為一種數學物件（mathematical object）。然而，數學史上如高斯這樣偉大的數學家都曾經只能將無限視為一種過程（process），無怪乎利用集合來表徵無限集體的康托爾（Georg Cantor），會在十九世紀下半葉，遭受到數學界那麼巨大的反撲！事實上，無限作為一個不會結束的過程之想法，很久以來一直是個有用的數學工具。古希臘人據以處理不可公度的量以及求曲線形面積的「窮盡法」，乃至於微積分基礎概念－極限－的底層憑藉，都離不開無限的概念。然而，處理物件的無限集體，則是相當新穎的數學活動。 Continue reading →
- 數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom） 2011/03/31
數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯數學家傳記是很好的數學教學題材，本文針對教材選擇與教學策略，提供一些初步的建議。
一般而言，專業數學史家出版學術性的數學家傳記，都不是為了普及的目的。不過，目前倒是有頗多的數學家傳記，卻是由科普作家所出版，其創作關懷值得我們推薦。
就出版記錄來看，Eric T. Bell似乎最早使用數學家傳記作為一種（普及）策略，特別是生動的軼事，以方便引介這些數學家的發現成果給社會大眾，他的《大數學家》(Men of Mathematics)，儘管不無誇張渲染或扭曲史實，仍然吸引頗多讀者的注意。
- 非歐幾何（Non-Euclidean geometry） 2011/03/31
非歐幾何（Non-Euclidean geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯本文簡要說明非歐幾何的歷史發展，及其與《幾何原本》第五設準之關連。
歐幾里得對平面幾何的系統化處理實在相當完備，以致於經過兩千年以上的時間，吾人才得以揭開一層蓋在歐氏幾何中心地帶的神秘面紗。而此一揭示，就導出了非歐幾何學，繼而對於所謂的「真實幾何」帶來了革命性的衝擊，永遠改變我們的數學真理信仰。
整個故事要從歐幾里得的第五設準說起：「一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。」
- 歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements） 2011/03/31
歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯設準與公理之別已經不見於今日數學，不過，釐清它們將可大大地幫助我們進入歐幾里得的幾何世界之中。
現代數學的公設主義源自古希臘歐幾里得的《幾何原本》。因此，吾人若有意體會數學公設系統之精神，那麼，好好地研讀這一本流傳僅次於《聖經》的經典作品，向歐幾里得大師學習，的確是不二法門。
《幾何原本》以下列五個設準（postulate）作為基礎：設定下面敘述成為準則：
- 從任何一點到任何一點可畫一直線。
- 且一條有限直線可以持續地延長。
- 且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
- 且凡直角都相等。
- 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後(if produced indefinitely)，會在內角小於兩直角的那一側相交。
- 數學是什麼？（What is mathematics?） 2011/03/25
數學是什麼？（What is mathematics?）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯何謂數學？這個問題的答案隨著數學的發展歷程，而有了越來越豐富的說法。目前，數學家較有共識的答案是：數學是一種研究模式（pattern）的科學。
Continue reading →- 為什麼要用弧度制？ 2011/01/27
為什麼要用弧度制？(Why use radians?)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
課堂上每次教到弧度制，不管老師還是學生心底都會有股疙瘩感，\(360^\circ\) 的雲霄飛車硬要說它旋轉 \(2\pi\) 弧度（弧度兩字還經常被省略），任誰都會覺得拗口；曾經聽到有人認為：「在同一個圓內，圓心角張開的程度越大，其所對應到的弧長也越長，因此一個角所對應到的弧長，即可代表角的大小程度，所以我們可以沿用數學裡最基本的長度單位去表示角的大小，不需要另外發明新的單位。」當下有人認同有人反對，筆者倒是認為這個理由還挺有趣的；其實，許多人都曾經試圖為弧度制的存在辯駁，以下就提供各家道理供大家參考。 Continue reading →
- 從 y=2sin x．sin 20x 的圖形談起（The graph of y=2sin x．sin 20x） 2011/01/27
從 $$y=2{\sin}x\cdot\sin{20}x$$ 的圖形談起（The graph of $$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯以下先讓大家看一題教科書內有趣的習題：
許多美麗的波形都可由不同頻率的餘弦波疊合而成，
下圖的波形即為兩個頻率相差頗大的正弦波的乘積：$$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$，
若此波形可視為$$y=\cos(ax)-\cos(bx)$$，求正數對$$(a,b)$$。- 橢圓規（Ellipsograph） 2011/01/27
橢圓規（Ellipsograph）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師∕國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯利用簡單定義的橢圓規
圓規的原理是利用圓的定義「到定點（圓心）距離等於定值（半徑），在課堂上只需要一條無彈性的線加上教師的手固定圓心即可。想仿造圓規利用橢圓定義「到兩定點（焦點）距離和等於定值（長軸長）製造橢圓規，卻沒那麼容易：用兩隻手固定焦點後，還得生出第三隻手畫圖，就算真有神來一手（例如磁鐵）能同時固定兩個焦點，實際上畫圖時，線也會不斷卡住。有人腦筋動得快，線不固定在焦點，將定義引申為「到兩焦點距離和加上兩焦點距離等於定值」，便成了最簡易版橢圓規，如圖，只要隨時繃緊三線段，就能畫出橢圓。 Continue reading →
- 數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom） 2011/03/31