輾轉相除法(II) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(I)

一、畢氏音律與輾轉相減法

西元前五百多年，畢達哥拉斯(Pythagoras of Samos, c. 570 BC – c. 495 BC)(如右圖)為了探求音律，利用單弦琴(monochord)作實驗，發現兩個音的弦長為簡單整數比時，是和諧悅耳的。例如：$$2:1$$，$$3:2$$，$$4:3$$，$$5:4$$ 分別是八度、五度、四度及三度音程。這些弦長的比是如何求得的呢？若是分成 $$3:2$$，則會產生悅耳的和弦音樂，因此，不同的弦長比例會導致不同的音高，若是比例不正確，則會形成不和諧的和弦聲。

原來畢達哥拉斯是利用逐步相減法(the successive subtraction)求得的：考慮 $$a$$、$$b$$ 兩弦，不妨設 $$a>b$$，從 $$a$$ 減去較小的 $$b$$，得 $$a-b$$；若 $$a-b$$ 仍大於 $$b$$，再減去 $$b$$ 得 $$a-2b$$；…，直到 $$a-tb\le b$$，其中 $$t\in\mathbb{N}$$。繼續從較大的 $$b$$ 減去較小的 $$a-tb$$，…，直到 $$b-l(a-tb)\le a-tb$$，其中$$l\in\mathbb{N}$$。按此要領反覆做下去，經過有限步的輾轉相減後，必可得到 $$0$$，此時運算停止。在 $$0$$ 之前最後一個不為 $$0$$ 的數 $$d$$，即最大公因數 $$d$$。

畢達哥拉斯相信，任意給定兩正整數 $$a$$、$$b$$，必可利用有限次的逐步相減運算，找到最後一個不為 $$0$$ 的正整數 $$d$$，所以，存在正整數 $$p$$、$$q$$，使得 $$a=pd~, b=qd$$，而 $$d$$ 為滿足此式的最大弦長，從而得到 $$a:b =p:q$$ 為整數比，我們稱這種演算法稱為輾轉相減法。 Continue reading →

實數的三角不等式 (Triangle Inequality for Real Numbers)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

若 \(a,b\) 為實數，\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的兩邊之和大於第三邊來理解，因此，稱之為三角不等式。)

證明：

因為 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\)，直接相減或相除無法順利運算，因此，考慮平方相減

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此，\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\)，即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立時， 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移項得 \(\left| {ab} \right| = ab\)，\(\therefore ab\ge 0\)。

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畢氏定理(Pythagoras Theorem)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

已知：直角三角形 $$ABC$$，其中 $$\angle BAC=90^\circ$$，

而 $$\overline{AB}=c$$，$$\overline{BC}=a$$，$$\overline{CA}=b$$。

求證 $$a^2+b^2=c^2$$。

證明：

方法一：《幾何原本》作法

由直角 $$C$$ 往斜邊 $$\overline{AB}$$ 作直線，交 $$\overline{AB}$$ 邊於 $$K$$ 點，交 $$\overline{GF}$$ 邊於 $$J$$ 點。只要證明正方形 $$ACDE$$ 的面積等於長方形 $$AKJG$$ 的面積；正方形 $$BCHI$$ 的面積等於長方形 $$BKJF$$ 的面積，便完成畢氏定理的證明。 Continue reading →

輾轉相除法(I) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

歷史溯源：歐幾里得(Euclid,ca.325BC-ca.265BC)(如右圖)的《幾何原本(Elements)》第七卷的第一、二個命題論述如何用輾轉相除法求兩整數的最大公因數，因此，輾轉相除法又稱歐幾里得算法。

狄里克利(Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859)在他的《數論》一書中說「本書的整個結構奠定在一塊基石上面，即計算兩個整數的最大公因數(輾轉相除法)。」利用這個方法，可以較快地求出兩個自然數的最大公因數，稱為 g.c.d.(greatest common divisior)^[1]。 所謂最大公因數，是指幾個數的共有的因數之中最大的一個，例如：8和12的最大公因數是4，記作 g.c.d.(8,12)=4。 Continue reading →

矩陣的運算（Operations of Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹矩陣的加法、減法、係數積，以及如何操作矩陣的乘法。

矩陣的加法與減法

當兩個矩陣的列數相等，行數也相等時，我們就稱它們為「同階矩陣」。

例如 $$M = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right]$$ 與 $$N = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]$$ 同為 $$2\times 3$$ 階矩陣。

同階矩陣我們才能做加法與減法，方法很直觀，就是相同位置的元相加或相減，例如：

$$\begin{array}{ll}M + N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1 + }}1{\rm{0}}}&{{\rm{2 + }}2{\rm{0}}}&{{\rm{3 + }}3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4 + }}4{\rm{0}}}&{{\rm{5 + }}5{\rm{0}}}&{{\rm{6 + }}6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]\\&= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{1}}}&{2{\rm{2}}}&{3{\rm{3}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{4}}}&{5{\rm{5}}}&{6{\rm{6}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}M – N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] – \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1}} – 1{\rm{0}}}&{{\rm{2}} – 2{\rm{0}}}&{{\rm{3}} – 3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4}} – 4{\rm{0}}}&{{\rm{5}} – 5{\rm{0}}}&{{\rm{6}} – 6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right] \\&=\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\; – \;{\rm{9}}}&{ – {\rm{18}}}&{ – {\rm{27}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} { – {\rm{36}}}&{ – {\rm{4}}5}&{ – {\rm{54}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

用符號來表示就是 $$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，$$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，

則 $$A+B = {\left[ a_{ij}+b_{ij} \right]_{m \times n}}$$，$$A-B = {\left[ a_{ij}-b_{ij} \right]_{m \times n}}$$。

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