空間向量的外積及幾何意義 ( The cross product and its geometric interpretation )
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

現今高二下有關空間向量的教材提到，若 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 為空間中的兩向量，則定義 \(\overrightarrow a\) 與 \(\overrightarrow b\) 兩向量之外積

\(\overrightarrow a\times \overrightarrow b=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\)。

另一方面，空間中 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 兩向量所張成的平行四邊形面積為：

\(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)

眼尖的讀者，不難發現  \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 之長恰為此平行四邊形之面積值，即 \(A = \left| {\overrightarrow a\times\overrightarrow b }\right|\)。 Continue reading →

和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：和算裡的弧長之冪級數公式（一）

〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。

建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。

換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。

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和算裡的弧長之冪級數公式（一）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

早在中國漢朝《九章算術》裡，便出現了圓面積及弓形面積公式，然而，後者所給的僅是近似公式。隨著中算書的傳入，江戶時期日本數學家們對於圓周率與弧長公式的研究，卻深感興趣。前者顯然受到中國的影響，後者卻是十足的和算產物。譬如說吧，十七世紀初期，今村知商的《豎亥錄》（1639）就提出了新的弧長公式（其中，我們以 \(R\) 表示圓之直徑、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧長）：

\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)

當然，這同樣也只是近似公式。若我們進一步考察和算早期發展過程所出現的弧長公式，多與

\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)

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二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上） 

在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出

$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。

利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。 Continue reading →

二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）
(The generalization of Binomial theorem（III）：the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（二）：有理數冪次

在〈二項式定理的推廣（一）〉與〈二項式定理的推廣（二）〉兩篇文章中，提到了江戶時期日本數學家（和算家）對二項式定理的推廣，包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法，將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）將二項式定理的幂次推廣至 $$1/2$$ 以及 $$1/n$$ 任意的情況。

有趣的是，江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」，用來幫助計算與推廣二項式定理，一般也作為記載數學知識之用。如表一所示，為 $$(1-x)^{-k}$$ 類二項展開式之係數表（這裡為方便讀者閱讀，筆者將原表格內容改以現代符號來表示，並受篇幅所限只列出當中的一部份），若我們僅看數字部份，則第一列的數字為 $$(1-x)^{-1}$$ 的各項係數；第二列為$$(1-x)^{-2}$$ 的各項係數；$$\cdots$$；第 $$k$$ 列為 $$(1-x)^{-k}$$ 的各項係數（然表中皆僅列到前七項）。

有了第一列之後，便可以任意地擴張整個表的內容，得到任意的 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式係數。

例如：

$$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數 $$3$$，便是上一列前 $$3$$ 項之和，即 $$a_{22}=a_{10}+a_{11}+a_{12}$$

$$(1-x)^{-3}$$ 的 $$x^4$$ 項係數 $$15$$，便是上一列前 $$5$$ 項之和，
即 $${a_{34}} = {a_{20}} + {a_{21}} + {a_{22}} + {a_{23}} + {a_{24}}$$

$$\cdots$$

$$(1-x)^{-k}$$ 的 $$x^n$$ 項係數，便是上一列前 $$n+1$$ 項之和，
即 $${a_{kn}} = {a_{k – 1,0}} + {a_{k – 1,1}} + {a_{k – 1,2}} +\ldots+ {a_{k – 1,n}}$$ Continue reading →

二項式定理的推廣（二）：有理數冪次
(The generalization of Binomial theorem（II）：rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次 

前文〈二項式定理的推廣（一）：負整數冪次〉裡，對二項式定理作了冪次上的推廣，從正整數推廣至負整數。接著，我們進行另一個推廣：有理數冪次。不過，受限於篇幅，這裡主要先討論指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。

首先，指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面，例如 $$(1+a)^{\frac{1}{2}}$$ 可看成 $$\sqrt{1+a}$$。再者，在東方數學史發展的過程裡，$$\sqrt{1+a}$$ 之開方問題與方程式的解息息相關：若令$$x=\sqrt{1+a}$$ ，則開方求 $$x$$ 相當於求解方程式 $$x^2-(1+a)=0$$ 之實根問題。

然而，無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程，求解一元多項方程次時，往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」（即賈憲－霍納法）來求方程式的數值解（相關內容與方法，可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉）。

因此，處理 $$(1+a)^{1/n}$$ 有關的展開式問題時，

便相當於求解 $$x=(1+a)^{1/n}$$，亦即求解 $$x^n-(1+a)=0$$ 的實根。

當然，若 $$1+a$$ 為實數時，我們僅需前述方法（賈憲－霍納法）便能求得其近似數值解。 Continue reading →

二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次
（The generalization of Binomial theorem（I）：negative power）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中數學課程裡，介紹了兩個重要的乘法公式：$$(x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2$$。
到了高一上的「數與式」單元，將這二個公式推廣至指數為三次方的情況：

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$  以及  $$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$

到了高一下，在引進了組合相關概念後，便可一般性地討論二項式定理，將指數推廣至任意正整數次方的情況：

$${(x + y)^n} = C_0^n{x^n} + C_1^n{x^{n – 1}}y + \cdots + C_k^n{x^{n – k}}{y^k} + \cdots + C_n^n{y^n}$$

然而，當指數為有理數的情況呢？或負整數次方呢？例如 $$(x+y)^{\frac{1}{2}}$$、$$\sqrt{1\pm x}$$、$${(1 \pm x)^{ – 1}} = \frac{1}{{1 \pm x}}$$ 等問題，皆與二項式定理有關。一般在高中課程中並不特別討論其展開式。本文中，首先介紹指數為負整數的情況，接著，〈二項式定理的推廣（二）：有理數冪次〉一文中，繼續介紹指數為有理數的情況。 Continue reading →

行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

在〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉中，介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號，寫出三個二元一次方程式有共同解的條件，也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是，萊布尼茲與羅必達的通信，直到1850年才公開。在此之前，其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上，萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的，根據1863年公布的史料看來，萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論，但一直把它當作祕密保守著。無怪乎，他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開，但他在1700-1710年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。 Continue reading →